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1、1,直 线 的倾斜角 斜 率,2,问题情境,直线最简单的几何图形,飞逝的流星沿不同的方向运动,在空中形成美丽的直线,对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的位置由哪些条件确定？,问题引入,问题,我们知道，两点确定一条直线一点能确定一条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P，直线 l 的位置能够确定吗？,问题引入,问题,过一点P可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，它们都经过点P （组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？,问题引入,问题,l,l,容易看出，它们的倾斜程度不同怎样描述直线的倾斜程度呢？,问题引入,问题,l,l,7,问题情境,确定直线的要素,问题1：,(1) _确定一条直
2、线.,两点,(2) 过一个点有_条直线.,无数条,确定直线位置的要素除了点之外,还有直线的方向,也就是直线的倾斜程度.,.,.,.,问题1：如何确定一条直线在直角坐标 系的位置呢？ 两点或一点和方向 问题2：如果已知一点还需附加什么条件，才能确定直线？ 一点和方向 问题3：如何表示方向？ 用角,问题引入解决本节第一问题,一、直线的倾斜角,注意： (1)直线向上方向； (2)轴的正方向。,在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把x轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线重合所成的角，叫作直线的倾斜角,例1.下列四图中，表示直线的倾斜角的是( ),练习巩固倾斜角的概念：,A,l1,l2,
3、l3,想一想,例2.看看这三条直线，它们倾斜角的大小关系是什么？设 、 、,分别为 、 、,规定：当直线和x轴平行或重合时， 它的倾斜角为0,2、直线的倾斜角范围的探索,由此我们得到直线倾斜角的范围为：,想一想,你认为下列说法对吗？,1、所有的直线都有唯一确定的倾斜 角与它对应。,2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。,对,错,3、直线倾斜角的意义,体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角。,倾斜角相同能确定一条直线吗？,相同倾斜角可作无数互相平行的直线,15,问题情境,楼梯的倾斜程度用坡度来刻画,1.2m,3m,3m,2m,坡度=,高度,宽度,坡度
4、越大，楼梯越陡,2、直线的斜率,定义：倾斜角不为900的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：,倾斜角不是90的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度,17,建构数学,直线倾斜程度的刻画,高度,宽度,直线,P,Q,M,直线的倾斜程度=,类比思想,3、探究：由两点确定的直线的斜率,如图，当为锐角时，,能不能构造一个直角三角形去求？,锐角,如图，当为钝角是，,钝角,1、当 的位置对调时 ， 值又如何呢？,当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述斜率公式还适用吗？为什么？,已知直线上两点 ，运用上述公式计算直线 斜率时，与 两点
5、坐标的顺序有关吗？,22,数学应用,例1：,如图，直线 都经过点 ，又 分别经过点 ,讨论 斜率的是否存在,如存在,求出直线的斜率.,l1,l2,l3,l4,解:,直线l1的斜率,k1=,k2=,k3=,直线l4的斜率不存在,直线l2的斜率,直线l3的斜率,P,Q1,Q2,Q3,Q4,直线斜率的计算,K1=1,K2=-1,K3=0,斜率不存在,23,纵坐标的增量,已知两点 P(x1，y1)， Q(x2，y2)， 如果 x1x2，则直线 PQ的斜率 为：,建构数学,直线斜率的定义,横坐标的增量,请同学们任意给出两点的坐标,并求过这两点的直线的斜率.,数学实践,形,数,24,问题3：,对于一条与x
6、轴不垂直的定直线而言,直线的斜率是定值吗?,是定值,定直线上任意两点确定的斜率总相等,从上可以看出直线的倾斜角与斜率之间的关系:,k=0,无,k0,递增,不存在,无,k0,递增,26,建构数学,问题5：,直线的倾斜方向与直线斜率有何联系？,k0,k0,k=0,k不存在,直线从左下方向右上方倾斜,直线从左上方向右下方倾斜,直线与x轴平行或重合,直线垂直于 x轴,拓展研究,1.下列哪些说法是正确的（ ）,A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B、直线的倾斜角越大，斜率也越大 C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或 D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相
7、等 F 、直线斜率的范围是R G、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。,E、F,练习,28,数学应用,例2：,经过点A(3,2)画直线，使直线的斜率分别为 0， 不存在， 2， -2.,解：, 过(3，2)，(0，2) 画一条直线即得,过(3，2)，(3，0) 画一条直线即得,A(3,2）,29,数学应用,例2：,经过点A(3，2)画直线，使直线的斜率分别为 0， 不存在， 2， -2.,x,解：（法一：待定系数法）,设直线上另一个点为（x,0)，,所以过点(3，2)和(2，0) 画直线即可,说明：也可设点为(0，y)或其它特殊点,则：,A(3,2）,1,2,3,2,3,1,30,数学应用,例
8、2：,经过点A(3，2)画直线，使直线的斜率分别为 0， 不存在， 2， -2.,法二：(利用斜率的几何意义）,根据斜率公式 ，斜率为2表示直线 上的任一点沿x轴方向向右平移1个单位，再沿y轴方向向上平移2个单位后仍在此直线上,即可以把点（3，2）向右平移1个单位，得到点（4，2），,再向上平移2个单位后得到点（4，4），,因此通过点(3，2)，(4，4)画直线即为所求, 将点(3，2)向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到点(4，0)，过(3，2)和(4，0)画直线即为所求,A,（4，2）,（4，4）,31,课堂竞技场,斜率为2的直线，经过点(3,5),(a,7),(-1，b)三点，则a
9、,b的值为( C ),A、a=4,b=0,B、a=-4,b=-3,C、a=4,b=-3,D、a=-4,b=3,练习,5 .结合图形，观察倾斜角变化时，斜率的变化情况,k2k3k1,3.直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan？,4.任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？,33,课堂竞技场,数学实践,已知三点A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7),求KAB，KBC,KAB=2,KBC=2,问题9：,如果KAB=KBC,那么A、B、C三点有怎样的关系？,A、B、C三点共线,34,数学应用,如果直线l上一点P沿x轴方向向右平移2个单位,再沿y轴方向向上平移4个单位后仍在直线l上,那么该直线的斜率
10、为多少?,问题6：,拓展研究,斜率为2,问题7：,直线l的斜率为2,将l向左平移1个单位得到直线l1,则l1的斜率为多少?,斜率为2,问题8：,平行直线的斜率之间有怎样的关系?,斜率相等,或斜率都不存在,35,判断下列三点是否在同一直线上 (1) A(0,2), B(2,5), C(3,7) (2) A(-1,4), B(2,1), C(-2,5),如果三点A(1,1)、B(3,5)、C(-1,a)在一条直线上,求a的值,(a=-3),课堂竞技场,知识小结,1、直线的倾斜角的定义,2、直线的斜率的定义,3、两点间斜率公式,37,课堂竞技场,求过点M(0,2)和N(2,3m2+12m+13)(m
11、R)的直线l的斜率k的取值范围。,问题10：,直线斜率的大小与直线的倾斜程度有什么联系？(课后研究),解:,由斜率公式得直线l 的斜率,38,回顾反思,3.平面解析几何的本质是 用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。,两个概念直线的斜率、倾斜角；,2.两个问题- （1）已知直线上两点如何求斜率； （2）已知一点和斜率如何画出直线。,39,难点展示：,例题一：直线 l 过点M(-1,1)且与以P(-2,2)Q(3,3)为两端点的线段PQ有公共点, 求直线 l 的斜率的取值范围。,例2。已知直线的斜率K的变化范围为（ 1，1， 求直线的倾斜角的取值范围。,分析：,因为直线的斜
12、率正负不同，直线的倾斜角范围也不同，因此，应分斜率为负值和非负值两种情况讨论。,当K （ 1，0）时,当K 0，1 时，,解： 直线斜率K的变化范围（ 1，1=（ 1，0） 0，1，,所以直线的倾斜角范围为,练习,直线 的倾斜角 =30，直线 ， 求 , 的斜率。,解： 的斜率为 的倾斜角为 的斜率为,练习,解:,推导二:,练习：已知直线l的一个方向向量,解：,，求直线的斜率。,则直线的斜率为 :,例1 如图 ，已知 ，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角,解：直线AB的斜率,直线BC的斜率,直线CA的斜率,由 及 知，直线AB 与CA的倾斜角均为锐角；由 知，直
13、线BC的倾斜角为钝角,求经过已知两点的直线的斜率和倾斜角：,方法：先用经过两点的直线的斜率公式求斜率， 再求倾斜角。,由 及 知，直线AB 与CA的倾斜角均为锐角；由 知，直线BC的倾斜角为钝角,由 及 知，直线AB 与CA的倾斜角均为锐角；由 知，直线BC的倾斜角为钝角,例2,解:,已知点P(0,-2),A(-1,2),B(2,3)经过点P的直线l与线段AB有公共点时,求直线l的斜率k的取值范围.,已知三点A(2,3),B(a, 4),C(8, a)三点共线, 求a 的值.,直线L的倾斜角是连接（3，-5），（0，-9）两点的直线的倾斜角的两倍，求直线L的斜率。,已知直线 和 的斜率分别是 和 ，求它们的倾斜角及确定两条直线的位置关系。,由图可知,解:,Y,O,X,知识小结,1、直线的倾斜角的定义,2、直线的斜率的定义,3、两点间斜率公式,
