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1、北京市中国人民大学附属中学高三上学期文科月考（二）数学试题一、选择题（本大题共8小题）1.已知集合A=x|0log4x1，B=x|x2，ACRB=（ ）A. (1,2B. 2,4)C. (2,4)D. (1,4)【答案】C【解析】试题分析：log41log4xlog44，A=(1,4)，又CRB=(2,+)，ACRB=(2,4).考点：1.对数函数的性质；2.集合之间的运算.2. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A. y=x2+sinxB. y=x2cosxC. y=2x+12xD. y=x+sin2x【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可【详解】解：A f
2、（x）（x）2+sin（x）x2sinx，则f（x）f（x）且f（x）f（x），则函数f（x）为非奇非偶函数；Bf（x）（x）2cos（x）x2cosxf（x），则函数f（x）是偶函数；Cf（x）=2-x+12-x=2x+12x=f（x），则函数f（x）是偶函数；Df（x）x+sin2（x）xsin2xf（x），则函数f（x）是奇函数，故选：A【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义进行判断，是解决本题的关键3.已知函数f(x)=(12)xx3f(x+1)x3，则f(1)的值是A. 112B. 18C. 24D. 12【答案】B【解析】f1=f2=f3=(12)3=18,选B
3、.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.4.已知平面向量a=(1,-3)，b=(-2,0)，则|a+2b|=(A. 32B. 3C. 22D. 5【答案】A【解析】因为平面向量a=1,3,b=2,0，所以a+2b=(3,3)，所以|a+2b|=9+9=32，故选A.5.“sin=cos”是“cos2=0”的（ ）A. 充分不必要条件B
4、. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为，所以“sin=cos”是“cos2=0”的充分不必要条件；故选B考点：1二倍角公式；2充分条件和必要条件的判定【此处有视频，请去附件查看】6.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=2，c=23，cosA=32.且bc，则b=(A. 3B. 2C. 22D. 3【答案】B【解析】【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，解关于b的方程，结合bc，即可得到b=2【详解】a=2，c=23，cosA=32.且bc，由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA，即有4=b2+
5、12-4332b，解得b=2或4，由b0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是（ ）A. (,1)(0,1)B. (1,0)(1,+)C. (,1)(1,0)D. (0,1)(1,+)【答案】A【解析】构造新函数gx=f(x)x,gx=f(x)x=xf(x)-f(x)x2，当x0时gx0可得0x0，又f(x)为偶函数，所以f(x)0在(-,0)(0,+)上的解集为：(1,0)(0,1).故选B.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如xf(x)-f(x)，想到构造gx=f(x)x.一般：（1）条件含有f(x)+f(x)，就构造gx=exf(x),（2）若fx-f(x
6、)，就构造gx=f(x)ex，（3）2f(x)+f(x)，就构造gx=e2xf(x)，（4）2fx-f(x)就构造gx=f(x)e2x，等便于给出导数时联想构造函数.8.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOP=x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y=f(x)的图象大致为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可【详解】由已知得，当点P在BC边上运动时，即0x4时，PA+PB=tan2x+4+tanx；当点P在CD边上运动时，即4x34,x2时，PA+PB=(1ta
7、nx-1)2+1+(1tanx+1)2+1，当x=2时，PA+PB=22；当点P在AD边上运动时，即34x时，PA+PB=tan2x+4-tanx，从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线x=2对称，且f(4)f(2)，且轨迹非线型，故选B【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0x4时的解析式是解决本题的关键二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知等差数列an前9项的和为27，a10=8，则a100=_【答案】98【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a100【详解】等差数列an前9项的和为27，a10=8，9a1+
8、982d=27a1+9d=8，解得a1=-1，d=1，a100=a1+99d=-1+99=98故答案为：98【点睛】本题考查等差数列通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用10.已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f(1)的处的切线过点(2,7)，则a= .【答案】1【解析】试题分析：f(x)=3ax2+1f(1)=3a+1,f(1)=a+2l:y(a+2)=(3a+1)(x1)7(a+2)=(3a+1)(21)a=1.考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思
9、想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得f(x)=3ax2+1f(1)=3a+1,f(1)=a+2l:y(a+2)=(3a+1)(x1)7(a+2) =(3a+1)(21)a=1.【此处有视频，请去附件查看】11.用mina,b，c表示a，b，c三个数中的最小值设f(x)=min2x,x+2,10-x(x0)，则f(x)的最大值为_【答案】6【解析】【分析】在同一坐标系内画出三个函数y=10-x，y=x+2，y=2x的图象，以此作出函数f(x)图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值【详解】y=10-x是减函数，y=x+2是增函数，y=
10、2x是增函数，令x+2=10-x，x=4，此时，x+2=10-x=6，如图：y=x+2与y=2x交点是A、B，y=x+2与y=10-x的交点为C（4，6），由上图可知f(x)的图象如下：C为最高点，而C（4，6），所以最大值为6故答案为6.【点睛】本题考查了函数的概念、图象、最值问题利用了数形结合的方法解答本题的关键是通过题意得出f(x)的简图12.在ABC中，a=4，b=5，c=6，则sin2AsinC=_【答案】1【解析】试题分析：sin2AsinC=2sinAcosAsinC=2acosAc=2cosA=2b2+c2a22bc=1考点：正余弦定理解三角形13.“定义在R上的函数f(x)，
11、若对任意的x1，x2，当x1x2都有f(x1)f(x2)，则f(x)为单调函数”能够说明上述命题是错误的一个函数是_【答案】f(x)=0,x=01x,x0【解析】【分析】根据题意，由函数单调性的定义，结合分段函数的性质分析可得答案【详解】根据题意，定义在R上的函数f(x)，若对任意的x1，x2，当x1x2都有f(x1)f(x2)，即函数值与自变量是一一对应的关系，且表示单调函数，可以考虑分段函数，则f(x)=0,x=01x,x0，故答案为：f(x)=0,x=01x,x0【点睛】本题考查函数的单调性的判定以及性质，注意掌握函数的单调性的定义，属于基础题14.已知ABC中，|AB|=2，|AC|=
12、4，BAC=60，P为线段AC上任意一点，则PBPC的范围是_【答案】-92,4【解析】【分析】先设PA=x，x0,4，利用向量数量积的运算性质可求PBPC，结合二次函数的性质即可求解【详解】ABC中，|AB|=2，|AC|=4，BAC=60，设PA=x，x0,4，则PBPC=(PA+AB)PC=PAPC+ABPC=x(4-x)cos180+2(4-x)cos60=x2-5x+4=(x-52)2-94，x0,4，由二次函数的性质可知，当x=52时，有最小值-92；当x=0时，有最大值4，所求PBPC的范围是-92,4故答案为：-92,4【点睛】本题主要考查了向量的基本定理及向量的数量积的运算性
13、质，二次函数的性质等知识的简单应用，属于中档试题三、解答题（本大题共3小题，共30.0分）15.已知等差数列an满足a1+a2=10，a4a3=2（）求an的通项公式；（）设等比数列bn满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列an的第几项相等？【答案】()an=2n+2；()128.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（）利用等差数列的通项公式，将a1,a2,a3,a4转化成a1和d，解方程得到a1和d的值，直接写出等差数列的通项公式即可；（）先利用第一问的结论得到b2和b3的值，再利用等比数列的通项公式
14、，将b2和b3转化为b1和q，解出b1和q的值，得到b6的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n的值，即项数.试题解析：（）设等差数列an的公差为d.因为a4a3=2，所以d=2.又因为a1+a2=10，所以2a1+d=10，故a1=4.所以an=4+2(n1)=2n+2 (n=1,2,).（）设等比数列bn的公比为q.因为b2=a3=8，b3=a7=16，所以q=2，b1=4.所以b6=4261=128.由128=2n+2，得n=63.所以b6与数列an的第63项相等.考点：等差数列、等比数列的通项公式.【此处有视频，请去附件查看】16.（本小题满分12分）ABC中D是BC上的点,A
