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1、北京市首都师范大学附属中学高考模拟预测卷（二）数学（文）试题考试时间：120 分钟；试卷分值：150 分第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合Ax|x2x20，xR，Bx|lg(x+1)1，xZ，则AB（ ）A. （0，2）B. 0，2C. 0，2D. 0，1，2【答案】D【解析】由x2x20得1x2，所以Ax|1x2由lg(x1)1，得0x110，解得1x9，所以B0,1,2,3,4,5,6,7,8，所以AB0,1,2，故选D.2.复数z满足z（1i）|1+i|，则复数z的虚部是（ ）A. 1B. 1
2、C. 22D. 22【答案】C【解析】【分析】由已知条件计算出复数的表达式，得到虚部【详解】由题意可得z1i=1+i 则z=1+i1i=21i=21+i2=22+22i 则复数的虚部是22故选C【点睛】本题考查了复数的概念及复数的四则运算，按照除法法则求出复数的表达式即可得到结果，较为简单3.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）A. 23B. 52C. 8D. 83【答案】A【解析】【分析】将三视图还原成三棱锥求解即可.【详解】将三视图还原成的几何体如图所示：底面为等腰直角三角形（两直角边长为2），侧棱垂直底面的三棱锥，面
3、ABC，ABD,BCD面积均为2，三角形ACD为等边三角形，且边长为22，面积为34222=23故选A.【点睛】本题考查三视图，正确还原成椎体，是本题关键，注意运算准确性，是基础题.4.已知函数f(x)=2x2a，f(3)=14，则f(2)=（ ）A. 1B. 18C. 12D. 18【答案】D【解析】【分析】利用f(3)=14求得a的值，即求得函数fx的解析式，由此来求f2的值.【详解】依题意f3=23a=14=22，故3a=2，解得a=5.故fx=2x25，所以f2=225=23=18.故选D.【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法待定系数法，考查函数求值，属于基础题.5.记等比数列an的
4、前n项和为Sn，已知S1=2,S3=6，且公比q1，则a3=（ ）A. -2B. 2C. -8D. -2或-8【答案】C【解析】【分析】利用基本元的思想，将已知条件转化为a1,q的形式，解方程组求得a1,q的值，进而求得a3的值.【详解】依题意S1=a1=2S3=a1+a1q+a1q2=6，解得q=2q1，故a3=a1q2=222=8，故选C.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量a1,q、通项公式和前n项和.基本元的思想是在等比数列中有5个基本量a1,q,an,Sn,n，利用等比数列的通项公式或前n项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列a1,q，进而求得
5、数列其它的一些量的值.6.若点A(2,22)在抛物线C:y2=2px上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）A. 24B. 423C. 22D. 223【答案】C【解析】【分析】将点A的坐标代入抛物线方程，求得p的值，由此求得抛物线焦点F的坐标，根据两点求斜率的公式求得直线AF的斜率.【详解】将A坐标代入抛物线方程得222=2p2,p=2，故焦点坐标F1,0，直线AF的斜率为22021=22，故选C.【点睛】本小题主要考查待定系数法求抛物线的方程，考查抛物线的几何性质，考查已知两点坐标求直线斜率的公式.属于基础题.7.已知函数f(x)=13x34x+2ex2ex，其中e是自然对数的底
6、，若f(a1)+f(2a2)0，则实数a的取值范围是（ ）A. (,1B. 12,+)C. (1,12)D. 1,12【答案】D【解析】【分析】首先对函数fx求导，然后利用基本不等式证得fx0，利用函数奇偶性的定义判断函数fx为奇函数，在结合奇偶性以及单调性化简f(a-1)+f(2a2)0，得到关于a的一元二次不等式，由此求得a的取值范围.【详解】由f(x)=x2-4+2ex+2e-xx2-4+24exe-x=x20，知f(x)在R上单调递增，且f(-x)=-13x3+4x+2e-x-2ex=-f(x)，即函数f(x)为奇函数，故f(a-1)+f(2a2)0 f(a-1)f(-2a2) a-1
7、-2a2 2a2+a-10，解得-1a12.故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数与单调性，考查利用基本不等式求最小值，考查函数的奇偶性，属于中档题.8.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，c=2b=4，角A的内角平分线交BC于点D，且AD=2，则cosA=（ ）A. 716B. 78C. 328D. 916【答案】A【解析】【分析】由角平分线性质定理可得BD：DC2：1，BD=23BC，则AD=AB+BD=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC，两边平方可得答案【详解】由角平分线性质定理可得BD：DC2：1，BD=23BC，则AD=AB+BD=AB+23(AC-AB)=13
8、AB+23AC，AD2=19AB2+49AC2+49ABAC=1916+494+4924cosA2，解得cosA=-716，故选：A【点睛】本题考查平面向量基本定理，角平分线性质，向量的运算，熟练运用角平分线定理及向量运算转化AD=13AB+23AC是关键，属于中档题第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.已知角的始边与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3,4)，则sin+2cossincos=_【答案】10.【解析】【分析】根据三角函数的定义得tan=43，再利用同角三角函数的商数关系化弦为切，即可求得答案.【详解】角的终边过P(3,4
9、)，由三角函数的定义，可得tan=43，所以sin+2cossin-cos=tan+2tan-1=43+243-1=10313=10，故答案为10.【点睛】本题考查三角函数的定义和同角三角函数的商数关系，解题的关键是准确掌握三角函数的定义和化弦为切的方法.10.关于x的方程xlnxkx+1=0在区间1e,e 上有两个不等实根，则实数k的取值范围是_【答案】(1,1+1e【解析】分析：首先将方程转化，分离参数，化为lnx+1x=k，将问题转化为函数图像与直线的交点个数来解决，之后构造函数，求导，利用导数研究函数单调性，从而得到函数图像的大致走向以及相应的最值，最后求得结果.详解：关于x的方程xl
10、nxkx+1=0，即：lnx+1x=k，令函数f(x)=lnx+1x，若方程xlnxkx+1=0在区间1e,e上有两个不等实根，即函数f(x)=lnx+1x与y=k在区间1e,e上有两个不同的交点，f(x)=1x1x2，令1x1x2=0可得x=1，当x1e,1)时，f(x)0，函数是增函数，所以函数的最小值为f(1)=1，f(1e)=1+e,f(e)=1+1e，所以函数的最大值为1+1e，所以关于x的方程xlnxkx+1=0在区间1e,e上有两个不等实根，则实数k的取值范围是(1,1+1e.点睛：该题考查的是有关方程的解的个数对应的参数的范围问题，该题转化为函数f(x)=lnx+1x与y=k在
11、区间1e,e上有两个不同的交点，结合函数图像的走向以及最值求得结果，还可以将方程转化为xlnx=kx1，即曲线y=xlnx和直线y=kx1在相应区间上有两个交点，也可以求得结果.11.在平面直角坐标系中，若x,y满足约束条件x+y30xy+20x2y0，则z=3x+2y的最大值为_.【答案】8【解析】【分析】画出可行域，化z=3x+2y为y=-32x+12z,平移即可求其最大值.【详解】由题画出不等式所表示的可行域，如图阴影所示：化z=3x+2y为y=-32x+12z直线l:y=-32x平移到过A时，z取得最大值，联立方程组x-2y=0x+y-3=0,解得A(2,1)，此时z=32+21=8故
12、答案为8.【点睛】本题考查线性规划问题，是基础题.12.若过定点(0,1)的直线与曲线y=xlnx+1相交不同两点A,B,则直线的斜率的取值范围是_.【答案】(1+ln2,+)【解析】【分析】设直线l:y=kx-1,转化为kx-1=xlnx+1有两个不同的根，分离k=lnx+2x，求导求最值即可.【详解】设直线l:y=kx-1,则kx-1=xlnx+1,得k=lnx+2x，令g(x)=lnx+2x,g(x)=x-2x2,x2,g(x)0, g(x)单调递增；0x2,g(x)1+ln2,故答案为1+ln2,+.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，是基础题.13.已知P是抛物线y2=4
13、x上任意一点，Q是圆x42+y2=1上任意一点，则PQ的最小值为_【答案】23-1【解析】【分析】设点P的坐标为（14m2，m），圆（x4）2+y21的圆心坐标A（4，0），求出|PA|的最小值，即可得到|PQ|的最小值【详解】设点P的坐标为（14m2，m），圆（x4）2+y21的圆心坐标A（4，0），|PA|2（14m24）2+m2=116（m28）2+1212，|PA|2 3，Q是圆（x4）2+y21上任意一点，|PQ|的最小值为2 3-1，故答案为：23-1【点睛】本题考查抛物线与圆的位置关系的应用，点点距，将PQ距离的最小值转化为P到圆心距离减半径是关键，是中档题14.在ABC中，点G
14、满足GA+GB+GC=0.若存在点O，使得OG=BC0，且OA=mOB+nOCmn0，则mn的取值范围是_【答案】（2，0）【解析】【分析】由GA+GB+GC=0，得OA=3OG-OB-OC，结合条件OG=BC=(OC-OB)，得到m31，n31，利用mn0可求出实数的取值范围，由此可计算出mn的取值范围【详解】由GA+GB+GC=0，可得OA-OG+OB-OG+OC-OG=0，所以，OA=3OG-OB-OC=3BC-OB-OC=3(OC-OB)-OB-OC=(-3-1)OB+(3-1)OC=mOB+nOC，则m31，n31，由于mn0，则（31）（31）0，即（3+1）（31）0，解得-1313，0，所以，013，mn（31）（31）6（2，0），故答案为：（2
