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1、1,矩阵理论与方法,第3章 矩阵分析及其应用 庄 伯 金 B,2,主要内容,矩阵序列与级数 矩阵序列的基本概念与性质 矩阵级数的概念与性质 矩阵函数 矩阵函数的概念和性质 矩阵函数的求法 矩阵函数的另外定义 矩阵微分与积分 矩阵函数的应用 一阶线性常系数齐次微分方程组 一阶线性常系数非齐次微分方程组,3,矩阵序列的收敛性,矩阵序列的收敛性概念与向量序列的收敛性概念一致。 定义：设有矩阵序列 ，其中 ，当 时， ，称 收敛，并称矩阵 为 的极限，或称 收敛于 ，记为 或 不收敛的矩阵序列称为发散的。 性质 若 ，则 。 若 ，则 。 若 都是可逆矩阵，且 ，则 。,4,矩阵序列的收敛性,定理：设
2、 ，则 的充要条件是 ； 的充要条件是 。 定义：矩阵序列 称为有界的，若存在常数 ，使得对一切 都有 注：与有界数列结论类似，有界矩阵序列必有收敛的子序列。 定义：设 为方阵，且当 时，有 ，则称 为收敛矩阵。 定理： 的充要条件是 。 定理： 的充要条件是存在一种矩阵范数 ，使得 。 例：判断下面矩阵的收敛性,5,矩阵级数的收敛性,定义：称矩阵序列 形成的无穷和 为矩阵级数，记作 记 为矩阵级数的部分和，若 ，则称矩阵级数收敛，且有和 ，记作 不收敛的矩阵级数称为发散的。 注：矩阵级数收敛意味着 。 例：已知矩阵序列 判断矩阵级数的收敛性。,6,矩阵级数的收敛性,定义：矩阵序列 形成的矩阵
3、级数中，若每一个数项级数 绝对收敛，则称矩阵级数 绝对收敛。 性质1.若矩阵级数绝对收敛，则它一定收敛，并且任意调换项的求和顺序也收敛，其和不变。 性质2.矩阵级数 为绝对收敛的充要条件是正项级数 收敛。 性质3.如果 是收敛（或绝对收敛）的，那么 也是收敛（或绝对收敛）的，并且有,7,矩阵级数的收敛性,性质4.设 中的两个矩阵级数 和 绝对收敛，其和分别为 ，则两级数按项相乘所得的矩阵级数 绝对收敛，且和为 。 定理：方阵 的幂级数 收敛的充要条件是 为收敛矩阵，并且在收敛时，其和为 。 定理：如果方阵 对某一矩阵范数 有 ，则对任何非负整数 ，以 为部分和 的近似时，其误差为,8,矩阵级数
4、的收敛性,定理：设幂级数 的收敛半径为 ，若方阵 满足 ，则矩阵幂级数 是绝对收敛的；若 ，则上述矩阵幂级数发散。 推论：若幂级数 在整个复平面上收敛，则对任意方阵 ，矩阵幂级数 绝对收敛。,10,矩阵函数-常见矩阵函数,1. 2. 3. 矩阵函数的加减运算与数量函数的加减运算保持一致 1. 2. 3. 4.,11,矩阵函数-常见矩阵函数,由于矩阵乘法不满足交换律，所以一般矩阵函数相乘与数量函数相乘不一致。 例： 取 定理：若 ，则 。 推论： 推论：设 为整数，则 。,12,矩阵函数-常见矩阵函数,例：设 ，则有 例：设函数 ，求矩阵函数 。,13,矩阵函数值的求法,求法一（待定系数法） 第
5、一步：求 阶矩阵 的特征多项式 ，以及多项式 ，满足 ， 整除 ，并求 的互异零点及相应的重数 。 第二步：将函数 改写成 ，其中 的次数低于函数 的次数。 第三步：由 确定多项式 。 第四步：,14,矩阵函数值的求法,例：设 求,15,矩阵函数值的求法,求法二（数项级数求和法） 第一步：同待定系数法找到首1多项式 ，即有 或者 第二步：求出指数超过 的矩阵 的幂表达式 第三步：求出,16,矩阵函数值的求法,例：设 求,17,矩阵函数值的求法,求法三（对角形法） 前提：矩阵 相似于对角矩阵 ，即有可逆矩阵 ，使得 则,18,矩阵函数值的求法,例：设 求,19,矩阵函数值的求法,求法四（Jord
6、an标准形法） 设 的Jordan标准形为 ，则存在可逆矩阵 ，使得 其中 可求得,20,矩阵函数值的求法,则,21,矩阵函数值的求法,所以,22,矩阵函数的另一种定义,对任意的函数 ，要求能够展开成收敛的幂级数，这个条件比较强，有些函数并不能做到这一点。例如 所以用幂级数来定义矩阵函数有时候会失效。我们可以借助Jordan标准形求矩阵函数值的方法来给出矩阵函数的另一种定义。,23,矩阵函数的另一种定义,定义：设 的Jordan标准形为 ，即有可逆矩阵 ，使得 其中 如果函数 在 处具有 阶导数，则称 为对应于 的矩阵函数。,24,矩阵函数的另一种定义,其中 注：当函数 能展开成收敛的幂级数时
7、，这两种定义得到的矩阵函数是一致的。,25,矩阵函数的另一种定义,例：设 ，矩阵 ，求 。 例：设 ，矩阵 ，求 。 注：新定义的矩阵函数 与矩阵 的Jordan标准形中Jordan块的排列次序无关。 性质1.若 ，则 。 性质2.若 ，则 。,26,矩阵的微分,定义：设矩阵 ，每个元素 为变量 的可微函数，则称 可微，其导数定义为 定理：设 是可进行运算的两个可微矩阵，则有 1. 2. 3. 其中 ，为 的可微函数。,27,矩阵的微分,定理：设矩阵 与 无关，则有 1. 2. 3.,28,矩阵的积分,定义：若矩阵 的每个元素 都是区间 上的可积函数，则定义 在 上的积分为 注：矩阵微分和积分
8、的定义都是对每个元素进行独立微分和积分。 定理：若 在 上可积，则有 1. 2. （ 与 无关） 3. （ 与 无关）,29,牛顿-莱布尼茨公式,定理：当 都在 上连续时，称 在 上连续，且有 定理：当 都在 上连续时，有,30,函数对矩阵的导数,定义：设矩阵 ， 元函数 ，定义 对矩阵 的导数为 例：设 ， ， 元函数 ，求 例：设 ，一元函数 ，求,31,函数矩阵对矩阵的导数,定义：设矩阵 ，定义 元函数矩阵 其中 ， 则对矩阵 的导数为 ，其中 。,32,函数矩阵对矩阵的导数,例：设 ， 元函数 ，求 这个矩阵被称为 元函数的Hessian矩阵。,33,函数矩阵对矩阵的导数,例：设 ，
9、元函数 ，令 求 例：设 是向量 的函数，而 ， ，证明,34,一阶线性常系数齐次微分方程组,一阶线性常系数齐次微分方程组形式为 其中 为自变量， 为 的函数， ，令 则方程组的矩阵形式为,35,一阶线性常系数齐次微分方程组,假设方程组满足初始条件 ，其中 。 将 展开成幂级数 则有 又因为 所以 得,36,一阶线性常系数齐次微分方程组,定理：满足初始条件 的一阶线性常系数齐次微分方程组 ，有且仅有唯一解 。 其中 ， ， 。 定义：记集合 ，则集合 为线性空间，即为方程组的解空间。 因为 可逆，所以以矩阵 的列构成的列向量 线性无关，则它们构成解空间的基，称为微分方程组 的基础解系，并且称
10、为方程组的一般解（通解）。,37,一阶线性常系数齐次微分方程组,例：设 ，求微分方程组 的基础解系以及满足初试条件 的解。,38,一阶线性常系数非齐次微分方程组,设一阶线性常系数非齐次微分方程组 其中 ， 是关于 的已知函数。 方程组的矩阵形式 其中 ， ， 。,39,一阶线性常系数非齐次微分方程组,解的基本形式（通解+特解） 设方程组的一个特解 ，而 是方程组的一般解。则有 即方程组的通解为齐次方程组 的通解加特解的形式 特解的求法（常向量变易法） 令 ，代入方程组 解得 所以方程的特解为 。,40,一阶线性常系数非齐次微分方程组,非齐次微分方程组的一般解 满足初始条件 的解为 例：设矩阵 ， , ,求微分方程组 满足初始条件 的解。,练习,P163 1、2、5、6 P170 4、5、6 P177 2、3、4,41,
