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1、西南财经大学经济数学学院,刘 丽,模糊分析方法及其应用,参考资料： 1 杨纶标、高英仪，模糊数学原理及其应用，华南理工大学出版社 2 谢季坚、刘承平，模糊数学方法及其应用，华中科技大学出版社。,教材：教师自编讲义,本课程的教学目标是使学生掌握模糊分析的主要方法，培养学生应用模糊分析方法研究不确定性的复杂系统的能力。,第一章 绪论,1.1 模糊现象,一、 模糊性现象,现象本身不确定，具有模糊性。 它是由概念的模糊性产生的。,例如：胖子，瘦子， 高山，大河， 富裕，贫困， 健康，不健康， 年轻，年老， 产品质量好，质量不好.,模糊与清晰是相悖的： 凡在类属问题上判断 “是”与“非”的属清晰。 如：
2、地球是“行星”吗？是。 鸡蛋呢？非。,凡在类属问题上可用程度，等级区别的，属模糊。 如：“高山”，青城山：高？不高？ （相比较而言） 成都市的空气质量：好？不好？ （以等级划分）,二、 模糊数学的诞生与发展,在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回避它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。,在日常生活中，经常遇到许多模糊事物， 没有分明的数量界限，要使用一些模糊 的词句来形容、描述。比如，比较年轻、 高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远 。这些概念是不可以简单地用是、
3、非或数字来表示的。,精确数学方法： 1.精确的定义 2.在精确定义的基础上进一步推理 3.得出正确的，合乎常理的结论,模糊性现象无法采用精确数学方法 解决,例1 著名问题：“秃头悖论” _古希腊学者发现 秃头定义：n根头发者为秃头,这样，k可以取很大 当k很大时，结论:“头发很多者为秃头” 这是一个不合常理的，荒谬的结论,例2 .“找人”,定义要找的人： 如果恰逢头发掉了一根，就找不到此人了。 太精确了，未必是好事!,但如果要你某日上午10点在校门口接一个“大胡子，高个子，长头发，戴宽边黑色眼镜的中年男人” 这里只有一个精确信息男人 其余模糊的概念 经综合分析判断，就可以找到此人。 模糊，未必
4、不好！,例3. 有人曾经精确定义:“GDP连续减少6个月则为经济衰退” 若从1月1日起GDP连续减少，那到6月30日就是6个月，则7月1日就是经济衰退，而6月30日则算是经济繁荣。 这就有些不合常理。,结论：精确数学不适用于解决模糊性问题 于是，模糊数学诞生了。,1.模糊数学的诞生,模糊数学诞生于1965年。 1965年，美国California大学的L.A.Zadeh教授发表了论文：“fuzzy sets”，模糊数学便作为一门独立的数学学科而诞生了。Zadeh教授这篇文章被公认为模糊数学诞生的标志。,模糊数学的其它命名：模糊分析、模糊学，模糊论。,2. 模糊数学的发展,Zadeh教授具有创新
5、精神，又具有务实态度，他的研究（隶属度，隶属数，模糊集合等）为模糊数学作为一门独立的学科建立了必要的基础。更为可贵的是Zadeh的研究与解决现代科学技术的实际问题紧密地联系在一起。这一新兴的学科吸引了众多国内外科技工作者的浓厚兴趣。因此，模糊数学理论和应用方面都呈现出朝气蓬勃的景象。,模糊数学从诞生到现在已经四十多年了，现在在自然科学，工程技术，社会、经济、农业科学各领域都有广泛的应用。,经典的集合论明确地规定：每一个集合都必须由确定的元素所构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论没办法对模糊概念处理，运算就产生了模糊集合论。,1965
6、 年美国控制论学者L.A.扎德发表论文模糊集合，标志着这门新学科的诞生。在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。比如“老人”是个模糊概念，70岁的肯定属于老人，它的从属程度是 1，40岁的人肯定不算老人，它的从属程度为 0，按照查德给出的公式，55岁属于“老”的程度为0.5，即“半老”，60岁属于“老”的程度0.8。,扎德认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。当隶属于0和1之间值时，就是模糊集合。,模糊数学发展的主流是在它的应用方面。由于模糊性概念已经找到了模糊集的描述方式，人们运用
7、概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊数学的方法来描述。,例如模糊聚类分析、模糊综合评判、模糊决策、模糊控制等。这些方法构成了一种模糊系统理论，构成了一种思辨数学的雏形，它已经在医学、气象、心理、经济管理、石油、地质、环境、生物、农业、林业、化工、语言、控制、遥感、教育、体育等方面取得具体的研究成果。,模糊数学的研究内容,模糊性数学自身的理论研究进展迅速。我国模糊性数学自身的理论研究仍占模糊性数学及其应用学科的主导地位，所取得的研究成果在模糊性数学、模糊系统与数学等数十种学术期刊和全国高校学报中经常可见，模糊聚类分析理论、模糊神经网络理论和各种新的模糊定理及算法不断取得进展。,
8、一、研究模糊性数学的理论,二、研究模糊语言学和模糊逻辑。,人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。 如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为1，那么，其他文法稍有错误，但尚能表达相仿的思想的句子，就可以用以0到1之间的连续数来表征它从属于“正确句子”的隶属程度。这样，就把模糊语言进行定量描述，并定出一套运算、变换规则。目前，模糊语言还很不成熟，语言学家正在深入研究。,三、研究模糊数学的应用。,更多的学者和专家是搞应用的。主要的应用方面是： 模糊数学目前在自动控制技术领域仍然得到最广泛的应用，所涉及的技术复杂繁多，从微观到宏观、从地下到太空无所不有，
9、在机器人实时控制、电磁元件自适应控制、各种物理及力学参数反馈控制、逻辑控制等高新技术中均成功地应用了模糊性数学理论和方法。,模糊性数学在计算机仿真技术、多媒体辨识等领域的应用取得突破性进展，如图像和文字的自动辨识、自动学习机、人工智能、音频信号辨识与处理等领域均借助了模糊性数学的基本原理和方法。,模糊聚类分析理论和模糊综合评判原理等更多地被应用于经济管理、环境科学、安全与劳动保护等领域，如房地价格、期货交易、股市情报、资产评估、工程质量分析、产品质量管理、可行性研究、人机工程设计、环境质量评价、资源综合评价、各种危险性预测与评价、灾害探测等均成功地应用了模糊性数学的原理和方法。,地矿、冶金、建
10、筑等传统行业在处理复杂不确定性问题中也成功地应用了模糊性数学的原理和方法，从而使过去凭经验和类比法等处理工程问题的传统做法转向数学化、科学化，如矿床预测、矿体边界确定、油水气层的识别、采矿方法设计参数选择、冶炼工艺自动控制与优化、建筑物结构设计等都有应用模糊性数学的成功实践。,我国医药、生物、农业、文化教育、体育等过去看似与数学无缘的学科也开始应用模糊性数学的原理和方法，如计算机模糊综合诊断、传染病控制与评估、人体心理及生理特点分析、家禽孵养、农作物品种选择与种植、教学质量评估、语言词义查找、翻译辨识等均有一些应用模糊性数学的实践，并取得很好效果。,目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能
11、化的模糊计算机，1986年日本山川烈博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速度是1000万次/秒。1988年，我国汪培庄教授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理机分立元件样机，它的推理速度为1500万次/秒。这表明我国在突破模糊信息处理难关方面迈出了重要的一步。,经济：经济发展水平的评判，富裕，小康，温饱，贫困分类，市场划分，产品质量评判 工程技术：洗衣机，电冰箱，洗碗机，空调，腕式血压计广泛采用了模糊控制技术 自然科学：自然灾害，环境的综合评判，计算机图像识别 医学：癌细胞识别，血白球识别与分类，计算机医疗诊断 气象：天气预报，气候模拟试验，气象资料分析与决策 农业：土壤分类，小麦样本识别,第
12、二章 模糊集合,2.1 经典集合概述 一、 集合的基本概念 1 集合：具有某种特性的事物的全体。用A，B等记 2 论域：讨论集合时给出的研究对象的全体，用U记。 注：论域本身是一种特殊的集合； 论域的选取一般不唯一。 如：讨论正整数集合时，论域可取为自然数 集合；也可以取为整数集合，预先取定即可。,在讨论的论域中取出一个元素a，同时给出一个集合A， 两者必居其一。经典集合论的基本要求,3、集合的分类,4 集合的表示法,枚举法 描述法,二、 集合的特征函数,定义2.1 设A是论域U中的集合，下述函数称为 集合A的特征函数,注：特征函数是布尔函数（取值为0，1的函数）,三、 集合的幂集,定义2.2
13、 设U是一个集合，由U的所有子集作为元素构成的集合称为U的幂集，记作J(U).,四 、集合的直积（笛卡儿积）,定义2.3 设A与B是两个集合，称 为A与B的直积，也称为A与B的笛卡儿积。 例如：,五、 集合的关系,包含：若,则称A是B的子集或B称包含A.记作,则称A与B相等,记作A=B,六、 集合的运算及其性质,1.运算.,2.性质,(1)交换律:,(2)结合律:,(3)分配律:,(4)幂等律:,(5)吸收律:,(6)01律:,(7)还原律:,(8)对偶律:,(9)排中(互补)律:,七、 映射,定义2.4 设X，Y是两个非空集合,若存在一个对 应规则f,有唯一元素,则称f为由X到Y的映射，记作
14、：,与之对应，,2.2 模糊集合的概念,一 、模糊集合的定义,则称映射,确定了U上的一个模糊集,称为该模糊集的隶属函数.,为x对模糊集,的隶属度.,的点x称为过渡点.该点最具模糊性.,定义2.5 设U是论域，根据一个模糊概念，在U上给定了一个映射,F集的实质是二要素：模糊概念，映射.,例1. 由于人种，地理环境的不同，人们对“高个子”的理解也不同.设论域,下面是用100人打分的方法确定的隶属度.,例2 .设U（单位：岁）表示人的年龄.Zadeh给出“年轻”（Y）与“年老”（O）两个模糊集合的隶属函数分别为：,二 、模糊集合的表示法,（1）Zadeh表示法 注：上述表示法只有符号意义,（2）序偶
15、表示法 （3）向量表示法,2. 论域U为无限集,符号法：,例4 设Uk（实数集），,例4 设U整数集，,由上式可得：,2.3 模糊集的运算,一. 模糊幂集 在给定的论域上可以有多个模糊集. 定义2.6 记论域U上的F集的全体为F（U）.称F（U）为U的模糊幂集即 注：F（U）是普通集合，它的元素为U上的F集,二. F集的关系与运算,1. 包含与相等 定义2.7 设,2. 并，交，补,其隶属函数为：,（1）有限论域：,（2）无限论域,例1 设论域（5人集）,求模糊集,解：,其隶属函数分别为：,例2 设U0,200（年龄集）,解：先求两直线的交点.,由,因底大于0，故两边开方，得：,因,如图：当,如图可得：,模糊集的运算律：,（1）幂等律：,（2）交换律：,（3）结合律：,（4）分配律：,（5）吸收律：,（6）01律：,（7）还原律：,（8）对偶律：,2.4 隶属函数的确定,对于应用问题，首先要建立F集的隶属函数.应用模糊数学的关键在于建立符合实际的隶属函数，这是至今尚未充分解决的问题.不过现在已有一些较为有效的方法.本节介绍确定隶属度和隶属函数的常用方法.,一、确定隶属度和隶属函数的方法,1.模糊统计法. 此方法源于1976年，它是根据模糊统计试验得出隶属频率，再根据隶属频率的稳定性确定隶
