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1、,大家好,熟练掌握点与直线的关系，直线与直线的关系。 充分理解空间相互垂直的两直线的投影特征，熟练掌握并能灵活运用直角投影定理。,上讲要点回顾:,两直线有平行、相交、交叉三种情况,交叉两直线可见性的判断,不垂直,已知等边三角形ABC，边BC属于EF，完成此三角形的V、H投影。（习题）,复习题：,ADsc,DB或DC的实长,本题几解?,有一解,1.已知等边三角形ABC，边BC属于EF，完成此三角形的V、H投影。,复习题：,2.已知正方形ABCD，边BC属于EF，完成此正方形的V、H投影。,3.已知长方形ABCD，边BC属于EF，且AB：BC=3：2，完成此长方形的V、H投影。,4.已知菱形ABC
2、D，另外一对角线BC属于EF，且AC=BD。完成此菱形的V、H投影。,复习题 已知点K至直线AB的距离为30mm，求作点K的水平投影k,以及距离KL的投影。,分析 因为AB是水平线，点L在AB上,由此可知垂线KL的Z坐标差，再由的KL实长已知,便可求出其水平投影长。,投影作图步骤 以ZA- ZK为直角边，30mm为斜边作直角三角形。 作与ab相距为垂线段水平投影长的平行线（上述直角三角形的另一直角边长）。 上述平行线和投影连线相交于k。,k,b,b,a,a,l,l,l,当直线中有特殊位置直线(其中一条是垂直线或都是平行线、垂直线)时,应用直角投影定律,可以作出公垂线.,两直线的公垂线(最短距离
3、),当两直线都是一般位置直线时,用投影变换的方法,可以使公垂线的求解变得简单.,两直线的公垂线(最短距离),直线的投影（五）,专业 级 班,姓名,学号,审核,成绩,3-19 三角形ABC为一直角三角形，其中B=90，边BC=25mm,3-22 已知等边三角形ABC一边BC属于EF，完成此三角形的,3-21 已知直线AB垂直于BC，BC=30mm，点C属于V面，求bc、bc。,3-20 已知点C到直线AB的距离为35mm，求c。,a,b,b,a,a,c,b,a,c,c,a,b,a,b,a,d,c,b,a,c,X,X,X,X,X,a,a,e,f,e,f,a,b,a,b,X,V、H面投影。,且=30
4、，试完成其两面投影。,3-17 已知对角线AC和点B的V面投影，试完成菱形ABCD的两投影。,3-18 矩形ABCD的对角线AC为水平线，试完成该矩形的V面投影。,13,1,b,d,1,b,d,BC=25,30,c,c,c,CDorDB,AD,b,c,b,c,d,d,ad,BC=30,c,c,距离=35,c,BC=30,c,两解,两解,四解,d,e,e,复习题： 已知对角线AC及B点的投影试完成矩形的ABCD两面投影。(与习题相似),a,c,a,c,b,d,b,d,解题的关键点: 求另一对角线BD的投影长(用直角三角形法); 1. ac=AC=BD 2. ZD-ZE=ZE-ZB 3. 求出ed
5、或eb,SCAE,有两解,第五讲 平面的投影,基本要求 4-1 平面的表示法 4-2 各种位置平面的投影特性 4-3 属于平面的点和直线,基本要求,1 掌握平面的几何元素表示法和特殊位置平面的迹线表示法。 2 熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图方法，能由已知平面的两个投影求作其第三投影。 3 熟练掌握平面内的点和直线的几何条件及作图方法。 熟练掌握平面内投影面平行线、投影面最大斜度线的投影特性。 熟练掌握求平面对投影面倾角的作图方法。（最打斜度线法）,4-1 平面的表示法,一、用几何元素表示平面,二、平面的迹线表示法,用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相
6、交二直线；平行二直线；任意平面图形。,二、平面的迹线表示法,1、平面迹线的定义 平面的迹线是平面与投影面的交线。平面P与H投影面的交线称作平面的水平迹线，用PH表示；平面P与V投影面的交线称作平面的正面迹线，用PV表示。（平面名称的大写字母加右下标注相应投影面名称）。 PH、 PV是平面P的两条直线，不是一直线的两投影。,2、迹线的空间位置特点 平面迹线既属于平面，又属于投影面。,3、迹线的投影特点 迹线的一个投影即其本身，其余投影在投影轴上。,4、平面迹线的作图 先作出平面内任意两直线的迹点，再连接其同名迹点即平面的同面迹线，注意利用迹线共点。,特殊位置平面用具有积聚性的迹线表示。,PV,P
7、H,一般位置平面的迹线求法,作平面P（点K和直线AB）的正面迹线及水平迹线。,PV,PH,注意: 平面的正面迹线一定平行于平面上的正平线; 平面的水平迹线一定平行于平面上的水平线。,4-2 各种平面对投影面的相对位置,一、特殊位置平面 1、投影面垂直面 垂直于一个投影面 (1) 铅垂面 H (2) 正垂面 V (3) 侧垂面 W 2、投影面平行面 垂直于两个投影面 (1) 水平面 H (2) 正平面 V (3) 侧平面 W 二、一般位置平面平面对H面的倾角为，对V为，对W为,特 殊 位 置 平 面 小 结,投影面垂直面 空间位置 垂直于一个投影面，倾斜于另两个投影面。 投影特点 在所垂直的投影
8、面的投影积聚为一条倾斜于投影轴的直线，此具有积聚性的直线与相应的投影轴（该投影面反映的两投影轴）的夹角反映平面对其它两个投影面的倾角。另外两个投影与空间平面图形均为类似形（若为多边形，边数相等）。 读图判断 只要有一个投影积聚为倾斜于投影轴的直线，便可判断该平面垂直于积聚投影所在的投影面。 投影面平行面 空间位置 平行于一个投影面，同时垂直于另外两个投影面。或者说平面上所有的点到同一个投影面的距离均相等。 投影特点 在所平行的投影面的投影反映其实形，另两个投影积聚为平行于相应的投影轴的直线（所平行的投影面反映的那两个投影轴）。 读图判断 只要有一个投影积聚为平行于投影轴的直线，便可判断为投影面
9、平行面。它一定平行于非直线投影所在的那个投影面。,特殊位置平面的迹线表示法,正垂面P,正平面Q,水平面R,铅垂面S,侧垂面U,侧平面T,三角形ABC为：,例题1：,a,b,a,b,c,c,1一般位置平面,2过Z轴的平面,3正平面,4铅垂面,判断题：指出正确答案。,1.B点是Z轴上的点; 2.AB是铅垂线!,4-3 属于平面的点和直线,一、属于一般位置平面的点和直线 二、属于特殊位置平面的点和直线 三、属于平面的投影面平行线 四、属于平面的最大斜度线 及一般位置平面对投影面的倾角,一、属于平面的点和直线,1 几何条件 直线属于平面的几何条件（二者之一） 通过平面上的两点； 通过平面上的一点且平行
10、于平面上的一条直线。 点属于平面的几何条件 点在平面内的某一直线上。 2 投影作图或判断 在一般位置平面上取点和直线的作图或判断，实质上就是在平面内作辅助线的问题。 在特殊位置平面上取点和直线的作图或判断,实质上就是看点和直线的投影,是否在平面的积聚投影上。 利用在平面上取点和直线的作图，可解决以下三类问题: 判别已知点、线是否属于已知平面； 完成已知平面上的点和直线的投影； 完成平面的投影。(本讲难点之一),1.取属于一般位置平面的直线,取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。,2.取属于一般位置平面的点,如要取属于平面的点
11、，必须要取自属于该平面的已知直线,4,4,3,3,例题2：已知 ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。,e,e,点D不属于平面,判断直线是否属于平面?,直线属于平面,例题3： 已知点D在 ABC上，试求点D的水平投影 。,e,e,3,d,例题4： 已知点E在 ABC上，试求点E的正面投影 。,d,a,b,c,a,b,c,判断直线是否属于平面?,3,直线不属于平面,3.取属于垂直面（几何元素表示法）的点和直线,关键是看点和直线的投影是否在平面的积聚投影上,1,2,3,1,2,3,EF属于ABC,K属于ABC,G不属于,MN不属于,平面内的点和直线 判断点和直线是否属于平面或在平面内取点和直
12、线,一般位置平面 需作平面内的辅助线,特殊位置平面 不需作平面内的辅助线，只要确保点和直线的投影属于平面的同名积聚投影即可。,平面内的点和直线小结:,二、属于平面的投影面平行线,属于平面的投影面平行线是既在平面上又平行于投影面的直线。 在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关系。,属于平面的水平线和正平线,PV,PH,PX,同一个一般位置平面的水平线相互平行，均平行于该平面的水平迹线PH,同一个一般位置平面的正平线相互平行，均平行于该平面的正面迹线PV,例题5：已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正
13、平线，过点A作属于该平面 的水平线。,m,n,n,m,注意同一平面的水平线和正平线是一对相交直线,例题6：已知点E 在ABC平面上，且点E在B点的前方15、B点的下方10，试求点E的投影。,m,n,例题6：已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面10，试求点E的投影。,m,n,三角形ABC为：,例题7：,1一般位置平面,2过X轴的平面,3正平面,4侧垂面,判断题：指出正确答案。,不补画W投影，只利用V、H投影区分一般位置平面与侧垂面。,一般位置平面,侧垂面,侧垂面,平面中存在一条侧垂线,1、 定义 属于定平面并垂直于该平面的投影面平行线的直线，称为该平面的最大斜度线。平面上的最
14、大斜度线有三组，即分别对水平投影面的最大斜度线、对正立投影面的最大斜度线及对侧立投影面的最大斜度线。 2、 特性 （1）平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上同名投影面的平行线相互垂直。对H面的最大斜度线的H投影平面水平线的H投影；对V面的最大斜度线的V投影平面正平线的V 投影；对W面的最大斜度线的W投影平面侧平线的W投影。 （2） 属于平面的最大斜度线是平面上对某个投影面倾角最大的直线。 3、几何意义 属于平面的最大斜度线与投影面的倾角反映该平面对同一投影面的倾角。对H面的最大斜度线的等于平面的；对V面的最大斜度线的等于平面的。,三、属于平面的最大斜度线,（1）平面上对水平投影面的最大斜度线 EF,AB平行于 H， EF垂直于 AB,（2）平面上对正立投影面的最大斜度线 CD,AB平行于V， CD垂直于 AB,（3） 平
