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1、1,第三讲 第 二 章 2.3 薛定谔方程 The Schrdinger equation,2,1.掌握微观粒子运动的动力学方程波函数随时间演化的规律 Schrdinger方程。 2.掌握定态及其性质。,学习内容,重点,重点难点,3, 23 薛定谔方程（S.E）,2-3 薛定谔方程,经典力学:,量子力学:,知道某一时刻状态，由定律就能预言以后时刻状态,描述经典粒子状态用坐标与动量,遵从牛顿定律,知道某一时刻状态，由定律就能预言以后时刻状态,描述微观粒子状态用波函数,遵从什么定律？,薛定谔方程,对经典粒子的描述是决定性结果,对微观粒子的描述是统计性结果,4,一、建立薛定谔方程的两个条件,建立的薛
2、定谔方程就是描述波函数随时间的变化方程,1.方程应是线性微分方程,这是态迭加原理的要求。按照该原理，若1， 1方程的解，那么1+b2也应该是方程的解。这是一种线性迭加，只有线性方程才能满足该方程。所以要求方程是线性方程。,2.这个方程的系数不应包括状态参量（如动量、能量）,因为方程的系数如含有状态的参量，则方程只能被粒子的部分状态所满足，而不能被所有状态所满足。,5,二、薛定谔方程的建立,（这里用了建立，而不用推导。Why?参赵敏光配位场理论P4）,1方法：,先建立自由粒子方程，然后推广到一般情况,2建立自由粒子薛定谔方程,自由粒子的波函数是,它应是所要建立的方程的解,因此：对时间求导,6,这
3、不是我们要求的方程，虽是线性的，但方程中含有状态参量（能量）。,7,同理,(1)+(2)+(3)，得,（仍含参量P2）,8,由(5)和(6)式得：,该方程即自由粒子的薛定谔方程,9,10,11,12,13,由此可以看出,动量算符能量算符坐标算符,注:这是坐标表象中表示,三个基本算符,14,15,上式即单粒子的薛定谔方程（薛定谔1926年建立）,16,单粒子方程可以推广到多粒子体系：即多粒子体系的薛定谔方程：,薛定谔是方程是量子力学的基本方程（基本 假设），我们上面用了“建立”二字，是建立 方程，不是用基本假设推导方程。 薛氏方程的正确性由实验验证。 它在量子力学中的地位相当牛顿定律在经典力学中
4、的地位。(h进入方程，),Discussion：,17,小结注意,（1）Schrdinger作为一个基本假设提出来，它的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而得到证实。,（2）Schrdinger方程在非相对论量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿。,18,2-4 几率流密度和几率守恒定律,一、粒子在空间出现的几率随t的变化规律,由薛氏方程,19,将（2)(3)代入(1)式, 得,20,这个方程具有连续性方程形式，即几率密度随t的变化规律。它与流体力学中连续性方程形式一样。这个方程也叫几率守恒定律的微分形式。,21,将(4)式在任一空间体积V积分,由矢量分析中高斯定理,表示空间中
5、找到粒子的几率随时间的变化,表示单位时间内通过封闭曲面S而流入V的几率,22,（可与电流密度比较，电磁学P180，梁灿彬著）,注：若波函数是实数，则几率流密度为零。,23,结论：单位时间内V中增加几率应等于从体积V外穿过V的边界面流进V的几率，所以上式也叫实域几率守恒方程,若在无限远处波函数为零，则将V扩大到整空间区域时,结论：整个空间找到粒子的几率与时间无关 。,24,三、质量守恒与电荷守恒定律,1质量守恒定律,量子力学的质量守恒定律。,25,电荷守恒定律,量子力学的电荷守恒定律。,26,四波函数的标准化条件（自然条件）,1有限性,2单值性,原因：时刻在点(x,y,z)找到粒子的几率密度应是
6、唯一的,3连续性,原因：描述粒子运动规律的方程是薛氏方程，它是一个偏微分方程，这就要求 (x,t)的偏微商要存在，而偏微商存在的条件就要求(x,t)连续。在具体解决问题中就要求波函数在区域的分界点的值相等，有时候还要求在分界点的一阶导数相等。,27,2.5 定态薛定谔方程,（1）,（2）,若 与 无关，则可以分离变量，令,(2)代入(1) 式，两边同除 ，得到,（3）,（4）,28,（6）,(5)代入(2) 式，得到,令,可见分离变量中引入的常数 为粒子的能量，当粒子处在由波函数（6）所描述的状态时，粒子的能量 有确定的值，这种状态称为定态；描述定态的波函数（6）称为定态波函数。,2.5 定态
7、薛定谔方程（续1）,2定态Schrdinger方程,当粒子处在定态中时，具有确定的能量，其空间波函数 由方程（3），即由,29,在给定的定解条件下求出，方程（7）称为定态Schrdinger方程。,（7）,2.5 定态薛定谔方程（续2）,3.Hamilton算符和能量本征值方程,（8）,（9）,这两个方程都是以一个算符作用在定态波函数 上，得出定态能量乘以该定态波函数，因此算符,30,（10）,（11）,2.5 定态薛定谔方程（续3）,利用哈密顿算符(能量算符),可将方程(9)和定态Schrdinger方程(7)和分别写成,31,当体系处在能量本征波函数所描写的状态(又称本征态)中时，粒子的能
8、量有确定的值。,讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数及这些态中的能量 ；解能量算符本征方程（12）求定态波函数的问题又归结为解定态Schrdinger方程+定解条件构成的本征值问题:,2.5 定态薛定谔方程（续5）,本征波函数,任意状态,32,4.求解定态问题的步骤,（1）列出定态Schrodinger方程,（2）根据波函数三个标准条件求解能量 的本征值问题，得：,2.5 定态薛定谔方程（续7）,（4）通过归一化确定归一化系数,（3）写出定态波函数即得到对应第 个本征值 的定态波函数,33,与 无关,5定态的性质,（2）几率流密度与时间无关,（1）粒子在空间几率密度与时间无关,与 无关,判别定态的方法：,2.5 定态薛定谔方程（续8）,（1）能量是否为确定值 （2）几率与时间无关 （3）几率流密度与时间无关,34,1.下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？,（1）,（2）,（3）,思考题,2.如果一个粒子只有两个可能位置,在量子力学中其波函数怎样? 意义又如何?,35,作业,2.1，2.2，2.3,
