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1、（一）引言 （二）H - F 定理 （三）实例,* Hellmann - Feynman 定理及应用(补充),关于量子力学体系能量本征值问题，有不少定理，其中应用最广泛的要数 Hellmann - Feynman 定理（简称 H-F定理）该定理的内容涉及能量本征值及各种力学量平均值随参数变化的规律。,（1）当体系的能量本征值已求出，借助于H-F定理可以得出关于 各种力学量平均值的许多信息，而不必利用波函数去进 行烦琐的计算； （2）利用 H-F 定理可以很巧妙地推出维里定理。,（一）引言,设体系的 Hamilton 量 H 中含有某参量 ，En 是 H的本征值，n 是归一的束缚态本征函数（n
2、为一组量子数），则,证,据题设，n 满足本征值方程：,其共轭方程为：,对 求导数并左乘 n | 得：, = 1,证毕,H - F 定理很有实用价值， H 中的 , 等都可以选为参数 。,（二）H - F 定理,（1）证明一维谐振子 = 。,证,一维谐振子 Hamilton 量：,方法 I：,取作为参数,由HF 定理,简记为,（三）实例,方法 II,令 = ,方法 III,取 = ,由HF 定理,由 HF 定理,（2）对类氢离子任何一个束缚态nlm ，求 1/r , 1/r2 的平均值。,解,1）求1/r,取 Z 为变分参数,由HF定理,2）求：,类氢离子径向波函数unl满足的径向方程为：,改写
3、成,该方程可看成是一维定态方程，其等效 Hamilton 量和本征值为：,取 为变分参数,由HF定理,（3）证明维里定理,即,证,I.在坐标表象,将 视为参数,由 HF 定理,II.在动量表象,由HF定理,（4）对类氢原子定态，证明：,证,对类氢原子,由HF定理,由例（2）知：,（一）算符 a, a+, N. （二）占有数表象,4.6 线形谐振子与占有数表象,本节我们从新的角度讨论这一问题，引进占有数表象。,（2）定义新算符 a, a+, N.,令,证明二者满足如下对易关系,（一）算符 a, a+, N.,（1）坐标表象下的线性谐振子,4.6 线形谐振子与占有数表象,证,证毕,4.6 线形谐振
4、子与占有数表象,（3）用算符a, a+ 表示振子Hamilton量,由 a, a+ 定义式 将算符 x, p 用新算符 a, a+ 表示出来,代入振子 Hamilton 量,2=/ ,4.6 线形谐振子与占有数表象,（4） a, a+, N 的物理意义,I. a, a+ 的物理意义,将 a 作用在能量本征态 n(x) 上,由n 的递推公式,用 Dirac 符号表示,其中 |n, |n-1, |n+1 等都是 H 的本征基矢， En, En-1, En+1。是相应本征值。,因为 振子能量只能以 为单位变化，所以 能量单位可以看成是一个粒子，称为“声子”。状态 |n 表示体系在此态中有 n 个粒子
5、（声子）称为 n 个声子态。,粒子 湮灭算符,粒子 产生算符,显然有,振子基态的基矢,4.6 线形谐振子与占有数表象,用产生算符 a+ 表示的振子基矢,II. N 的意义,上式表明， n 是N 算符的本征值，描写粒子的数目，故N 称为粒子数算符。,4.6 线形谐振子与占有数表象,以 |n 为基矢的表象称为占有数表象,湮灭算符 a 的矩阵元,矩阵形式为：,产生算符 a+ 的矩阵元,（二）占有数表象,4.6 线形谐振子与占有数表象,一维谐振子处于基态，求它的 及 并验证测不准关系。,Solve：,方法一 谐振子的波函数：,由厄米多项式的递推公式,推得谐振子波函数的递推公式,Ex1.,4.6 线形谐振子与占有数表象,由此得：,4.6 线形谐振子与占有数表象,推得：,又由,4.6 线形谐振子与占有数表象,测不准关系,4.6 线形谐振子与占有数表象,方法二,4.6 线形谐振子与占有数表象,测不准关系,4.6 线形谐振子与占有数表象,The End of Chapter 4,
