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1、1.4 生活中的优化问题举例,新源县第二中学高二数学组 授课人：李中辉 高二（6）班,知识回顾,一、如何判断函数的单调性？,f(x)为增函数,f(x)为减函数,二、如何求函数的极值与最值？,知识背景：,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题.,课题引人：,小游戏 游戏规则：把一根电线从中间任意一点剪断就得到两根较短的电线，把这两根电线折成两个小正方形，如果两个小正方形面积之和最小的一位同学获胜！ 思考：从哪里剪开可以使面积和最小？并且动手试试看。,例
2、1：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？,2,128,y,x,1,因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。,2,128,y,x,1,练习1、一条长为l的铁丝截成两段，分别 弯成两个正方形，要使两个正方形 的面积和最小，两段铁丝的长度分 别是多少？,则两个正方形面积和为,由问题的实际意义可知：,背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料
3、。瓶子的制造成本是0.8r2分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 ml 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm.,()瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润大？ ()瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？,实例探究二：利润最大问题,解：,由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润为：,令,因此，当r2时，f(r)0,它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；,当r2时，f(r)0,它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低。,（1）半径为2时，利润最小。这时f(2)0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值；,（2）半径为6时，利
4、润最大。,实例探究二：利润最大问题,换一个角度: 如果我们不用导数工具,直接 从函数的图象(图1.4-2)上观察,你 有什么发现?,y,0,2,3,r,(图1.4-2),从图象上容易看出, 1.当r=3时,f(3)=0,即瓶子半径是 3cm时,饮料的利润与饮料瓶的 成本恰好相等; 2.当r3时,利润才为正值.,解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有利的工具，其基本思路如以下流程图所示:,方法小结,优化问题,用函数表示数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,建立数学模型,解
5、决数学模型,作答,思考1,表面积,设半径为R,则高为h,表面积写成R的函数,问题就转化求函数的最值问题,作业:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?,x,h,解 设箱底边长为 x,则箱高为,箱子容积为,由,解得 x1=0 (舍), x2=40.,x,h,解 设箱底边长为 x,箱子容积为,由,解得 x1=0 (舍), x2=40.,当x(0,40)时,V(x)0;当x(40,60)时,V(x)0.,函数V (x)在x=40处取得极大值,这个极大值就是函数V (x)的最大值.,
6、答 当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大, 最大值为16000cm3,练习3:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?,R,h,解 设圆柱的高为h,底面半径为R.,则表面积为 S(R)=2Rh+2R2.,又V=R2h(定值),即h=2R.,可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.,答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.,问题3:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?,知识背景：计算机把信息存储在磁盘上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分割成的扇形区域。磁道上的定长的弧可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常称为比特（bit）。磁盘的构造如图1.4-3所示。,解:,存储量=磁道数每磁道的比特数.,设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息,所以磁道数最多可达(R-r)/m。,由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到 ,所以，磁道总存储量为：,(1) 它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大。,解：存储量=磁道数每磁道的比特数,(2) 为求f(r)的最大值，先计算,解得,
