深圳大学-建筑抗震设计4课件

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1、2019/4/19,1,第三章（2）,2019/4/19,2,3.4 多自由度弹性体系地震 反应分析的振型分解法,2019/4/19,3,3.4.1 计算简图,对于多层房屋，可把质量集中在每个楼层处。如多层框架、多层砖房。,2019/4/19,4,计算简图续,多跨不等高单层厂房，可以把质量集中到每个柱顶或屋盖标高处。,2019/4/19,5,计算简图续,烟囱，根据计算要求可分成若干段，每段集中成一个质点。,2019/4/19,6,3.4.2 运动方程,由于地震引起结构振动，某时刻的位移情况如图所示。 取质点 i 为脱离体，在质量上的作用力有： 惯性力：,2019/4/19,7,运动方程续,阻尼

2、力： 弹性力： 式中系数： cis使质量s产生单位速度而其它质点保持不动时，在质点 i 处引起的阻尼力。 kis使质量s产生单位位移而其它质点保持不动时，在质点 i 处引起的弹性力。,2019/4/19,8,运动方程续,根据质点的平衡条件： 对于所有质点（i=1，2，n），可以得到与式（2）相似的一组方程。该方程组可简化为矩阵的形式：,即：,2019/4/19,9,运动方程续,式（3-47）中：,2019/4/19,10,3.4.3 多自由度体系的自由振动,1. 频率方程 为使计算简化，按无阻尼自由振动方程来计算结构体系的自振频率及主振型。 无阻尼自由振动方程： 设方程的解为：,2019/4/

3、19,11,多自由度体系的自由振动续,将式（b）对时间求二次导数得： 将式（b）和式（c）代入式（a）得： 显然，X不能为零，否则体系无振动。,2019/4/19,12,多自由度体系的自由振动续,为使得方程（3-53b）有非零解，则方程的系数行列式必须等于零： 式（3-54）即为频率方程，解之可得体系的自振频率：,2019/4/19,13,多自由度体系的自由振动续,2. 主振型 对于不同的频率j ，可以由式（3-53b）写出n个主振型向量方程： 由上式可求得体系的n个主振型。,2019/4/19,14,3.4.4 振型分解法,1. 地震作用下多自由度体系的振动方程： 该方程是一个耦联的振动方程

4、，当自由度数量很多时求解很困难。一般采用振型分解法来求解。,2019/4/19,15,振型分解法续,2. 广义坐标表达的质点位移、速度和加速度 采用主振型的线性组合来表示质点的位移： 式中： Xj为第 j 振型向量；qj(t)称为广义坐标。 简写为矩阵的形式：,2019/4/19,16,振型分解法续,对上式求导数可得质点的速度和加速度： 3. 阻尼矩阵 通常假定阻尼矩阵c等于质量矩阵m与刚度矩阵k的线性组合：,2019/4/19,17,振型分解法续,4. 广义坐标表达的振动方程及其解 把上列各式代入式（3-47）并运算、整理后得:,2019/4/19,18,振型分解法续,令上式右边比值为： 系

5、数 j 称为振型参与系数。 这样，则得到广义坐标表达的振动方程：,2019/4/19,19,振型分解法续,广义坐标表示的振动方程（3-89）在形式上与单自由度振动方程(3-5)相同，其解可仿照 Duhamel 积分得到： j(t) 称为第 j 振型的等效单自由度体系的地震反应。,2019/4/19,20,振型分解法续,最后，将式（3-92）代入式（3-80），就得到原几何坐标下的质点 mi 的地震位移反应： 考虑到（i=1，2，n），上式就是用振型分解法得到的多自由度弹性体系在地震作用下各质点的位移反应计算公式。,2019/4/19,21,关于振型参与系数j,将式（3-81）两边左乘XjTm得

6、： 将式（a）右边展开，并利用振型正交性质，得：,2019/4/19,22,关于振型参与系数j,令式（b）中x=1，并与式（3-87）对比，则有： 因为： 所以，当xi(t)=1时则有：,2019/4/19,23,3.4.5 结构自振特性,3.4.5.1 求自振频率及自振周期的基本方法 3.4.5.2 求自振频率及自振周期的近似方法 3.4.5.3 其它计算方法,2019/4/19,24,3.4.5.1 求自振频率及自振周期的基本方法,单自由度体系的自振频率和自振周期： 多自由度体系：,2019/4/19,25,求频率举例,例3-1 计算图示二层框架结构的自振频率和振型。,2019/4/19,

7、26,例题3.1解答,计算刚度系数,k11=k1+k2,k21=-k2,k12=-k2,k22=k2,2019/4/19,27,由上图可以写出刚度系数：,得到刚度矩阵：,2019/4/19,28,质量矩阵为,将刚度矩阵和质量矩阵代入频率方程得,2019/4/19,29,由上式得,将数据代入上式得,将上式展开得,2019/4/19,30,解上式一元二次方程得自振频率,由频率直接求得自振周期,2019/4/19,31,由振型向量方程求得振型,将1、2分别代入上式解得：,2019/4/19,32,主振型图,第1振型、第2振型分别如下图示,2019/4/19,33,3.4.5.2 求自振频率及自振周期

8、的 近似方法,2019/4/19,34,矩阵迭代法（stodola法）,矩阵迭代法（P.42）是采用逐步逼近的计算方法来确定结构的频率与振型。,迭代公式推导如下。 由振型向量方程得： 将上式两边乘以k-1得：,2019/4/19,35,由结构力学知，刚度矩阵与柔度矩阵互逆，即 则式 改写成： 展开后得：,（3.61b）,2019/4/19,36,迭代法步骤,先假定一个振型并代入上式等号的右边，计算后得频率2和主振型第一次近似值。 再将第一次近似值代入上式的右边，计算后得频率2和主振型的第二次近似值。 如此计算，直至前后两次结果接近为止。 当一个振型求得后，则利用振型正交性质，求出更高阶的频率和

9、振型。,2019/4/19,37,迭代法举例,例3-2 某三层框架结构图，假定横梁的刚度为无限大。各参数如图示。用矩阵迭代法求结构的频率和振型。,2019/4/19,38,已知质量为： m1=2561t，m2=2545t，m3=559t 层间刚度为： k1=5.43105kN/m， k2=9.03105kN/m， k3=8.23105kN/m,2019/4/19,39,柔度系数：单位力作用下的位移。,2019/4/19,40,例3-2解答,求柔度系数,2019/4/19,41,第1振型 设第1振型的第一次近似值为：,代入式迭代公式（3.61b）得：,2019/4/19,42,上式运算后得,这样

10、，得到第一振型的第一次近似值：,再将此值代入式迭代公式（3.61b）得：,2019/4/19,43,再将此第三次近似值代入（3.61b）得,2019/4/19,44,由（a）与（b）比较可以看出，第三次近似值很接近第二次近似值，因此取第一振型为：,由（b）式中的任意一式可求得频率。 根据X13= 1.000，得：,2019/4/19,45,第二振型 对于第二振型，由（3.61b）得,利用振型的正交性：,2019/4/19,46,将上式展开得：,将（d）代入（c）中的一、二式得：,2019/4/19,47,现在对（e）式进行迭代，假设,经过两次迭代后得,故第二频率为,2019/4/19,48,再

11、由（d）式得,这样，求得第二振型为,2019/4/19,49,第三振型 根据主振型的正交性，则有,2019/4/19,50,将上两式展开，得：,解上面联立方程组，得：,令X33=1.000，得：,2019/4/19,51,求第三频率，由式（3.61b）得,2019/4/19,52,最后得相应的第三振型：,各振型如下图所示。,2019/4/19,53,2019/4/19,54,讨论,采用矩阵迭代法求频率和振型时，因求高频及振型时需取已求得的较低振型，故计算误差随振型提高而增加。但分析中，一般只需采用前几个振型，故误差积累对结构反应分析影响不大。 采用矩阵迭代法，当质点较多时，计算太繁。,2019

12、/4/19,55,能 量 法,若要求的是基本频率，则采可用能量法（或称Reyleigh法）。,2019/4/19,56,1. 能量守恒原理,根据能量守恒原理： 无阻尼弹性体系自由振动时，任一时刻的动能与变形位能之和保持不变。 故根据能量守恒原理得：Tmax=Umax,2019/4/19,57,2. 能量法公式推导,设在自由振动时，质点的位移为：,则速度为： 动力学中的动能公式：,2019/4/19,58,任意时刻体系的动能为： 则体系的最大动能为：,2019/4/19,59,结构的基本振型可以近似取为当重力荷载水平作用于质点上时的结构弹性曲线。 故体系的最大变形位能为：,2019/4/19,6

13、0,由式Tmax =Umax得： 则得自振频率计算公式：,或,2019/4/19,61,3. 基本周期,结构的基本周期为：,2019/4/19,62,4. 讨论,因采用了近似的振型曲线，故基本频率也是近似的。 若要提高计算的精度，应提高振型的精度。可采用迭代法进行修正。方法如下。,2019/4/19,63,5. 计算修正,按已求得的频率12，计算出各质点相应的惯性力mi12Xi 。 按此惯性力计算结构的位移曲线（即为新的振型 Xi ） 再以新振型 Xi去计算新的频率 12 。 如此迭代直至达到需要的精度为止。,2019/4/19,64,6. 能量法算例,按能量法计算【例3-2】的基本频率及振型

14、。,2019/4/19,65,例3-2解答（采用能量法）,结构在重力荷载Gi水平作用下的弹性曲线如图。,2019/4/19,66,层间相对位移,2019/4/19,67,各质点的水平位移,结构基本频率,2019/4/19,68,相应的基本振型,2019/4/19,69,为了提高精度，进行修正。,根据已求得的频率计算各质点的惯性力,2019/4/19,70,由惯性力引起的层间相对位移,2019/4/19,71,各层位移为,2019/4/19,72,基本频率为,2019/4/19,73,基本振型为,上述计算结果与矩阵迭代法结果基本相同。,如果计算结果的精度不够，可以重复上述计算，直至满意的精度。,

15、2019/4/19,74,3.4.5.3 其它计算方法,等效质量法 顶点位移法 试算法（ Holzer 法）,2019/4/19,75,等效质量法,也称折算质量法、转移质量法 在求多自由度体系或无限自由度体系的基本频率时，为了简化计算，可根据等效原则，将全部质量集中在一点或几个点上。此集中所得质量称为等效质量。,等效原则：静力等效或频率等效,2019/4/19,76,静力等效原则,现在考虑一悬臂体系，在i点有一集中质量mi，将其转移到柱顶j点，应保持柱底弯矩不变，则柱顶等效质量me为：,2019/4/19,77,当为均布质量时，则静力等效原则下的等效质量me为：,2019/4/19,78,频率

16、等效原则,对于单自由度体系频率为：,2019/4/19,79,现考虑一悬臂体系如下图，在其上i点有一集中质量mi，将其转移到体系的柱顶 j，而体系的频率仍保持不变，试求 j 点的等效质量me 。,根据频率相等的原则,则求得等效质量为,2019/4/19,80,若体系原有n个集中质量，则将每个质量都按上式所示的转换关系转换到 j 点。这时 j 点总的等效质量为各等效质量之和，即,故体系的基本频率为：,2019/4/19,81,式（3.68）是计算等效质量的近似公式。 式（3.69）称为邓克莱（Dunkeley）公式，是计算多自由度体系基本频率的近似公式。,2019/4/19,82,当为均布质量时，按频率等效的等效质量me推导如下：,杆件刚度为：,任意微段的质量为：,2019/4