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1、双曲线及其标准方程,沈阳市第七十六中学,问题1：椭圆的定义是什么？,平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数（大于|F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆。,问题2：椭圆的标准方程是怎样的?,， ， 关系如何？,问题3：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？,复习引入,动画演示,平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|，且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线。,这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。,通常情况下，我们把|F1F2|记为2c（c0)； 常数记为2a(a0).,问题4: 定义中为什么强调常数要小于|
2、F1F2|且不等于0（即02a2c）？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？,问题3:定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？,一、双曲线的定义,若2a=2c,则轨迹是什么？,若2a2c,则轨迹是什么？,若2a=0,则轨迹是什么？,此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线,此时轨迹不存在,此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线,F1,F2,F1,F2,分3种情况来看：,二、双曲线标准方程的推导, 建系,使 轴经过两焦点 ， 轴为线段 的垂直平分线。, 设点,设 是双曲线上任一点，,焦距为 ，那么 焦点 又设|MF1|与|MF2| 的差的绝对值等于常数 。, 列式,即,将上述方程化为：,移项两边平
3、方后整理得：,两边再平方后整理得：,由双曲线定义知：,即：,设,代入上式整理得：,两边同时除以 得：,化简,这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0).,其中c2=a2+b2.,类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？,其中c2=a2+b2.,这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在y轴上，焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c).,三.双曲线两种标准方程的比较, 方程用“”号连接。, 分母是 但 大小不定。, 。,如果 的系数是正的，则焦点在 轴上；如果 的系数是正的，则焦点在 轴上。,F（
4、c，0）,F（c，0）,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,四、双曲线与椭圆之间的区别与联系,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,练一练,判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。,答案：,题后反思： 先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。,例题,解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为,因此，双曲线的标准方程为,题后反思： 求标准方程要做到先定型，后定量。,两条射线,轨迹不存在,例1、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值
5、等于8，求双曲线的标准方程。,1.若|PF1|-|PF2|=8呢？,2.若|PF1|-|PF2|=10呢？,3.若|PF1|-|PF2|=12呢？,所以2c=10，2a=8。即a=4，c=5,那么b2=c2-a2=25-16=9,根据已知条件，|F1F2|=10. |PF1|-|PF2|=8，,练一练,求适合下列条件的双曲线的标准方程。 焦点在在轴 上， ； 焦点在在轴 上，经过点 .,答案: ,令,则,解得,故所求双曲线的标准方程为,使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合,解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为
6、|AB|680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.,例2已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.,如图所示，建立直角坐标系xOy,设爆炸点P的坐标为(x,y)，则,即 2a=680，a=340,因此炮弹爆炸点的轨迹方程为,归纳小结,双曲线的定义,双曲线的标准方程,应用,布置作业,51页练习A组1、2； 56页习题2.3 A组1、2题。,谢谢!,当 2a=| | MF1|MF2| |=0时，,轨迹是线段F1F2的垂直平分线.,(1) 定义中强调在平面内,否则轨迹不是双曲线。,几点说明：,通常|F1F2|记为2c;距离的差的绝对值记为2a.,| | MF1|MF2| | =|F1F2 | 时,M点一定在上图中的,F2,F1,P,Q,当2a=|F1F2|时,（2）定义中为什么 02a|F1F2|？,射线F1P,F2Q 上,此时点的轨迹为两条射线F1P,F2Q。,题后反思,（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。,（2） 是否表示双曲线？,表示焦点在 轴上的双曲线；,表示焦点在 轴上的双曲线。,答案： 。,谢谢!,
