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1、2013年北京市春季普通高中会考数学试卷第一部分 选择题（每小题3分，共60分）一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的 1如果集合，那么集合等于（ ）A B C D2不等式的解集为（ ）A B C D或3已知向量，那么等于（ ）A B C D4如果直线与直线平行，那么的值为（ ）A B C D5如果，那么的最小值是（ ）A B C D6要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位7在等差数列中，已知，那么等于（ ）A B C D 8在函数，中，奇函数是（ ）A B C D9的值为（ ）A B C D10函数的
2、最小正周期是（ ）A B C D11已知函数在区间上最大值是，那么等于（ ）A B C D12在中，则角等于（ ）A B或 C D或13口袋中装有个大小、材质完全相同的小球，球的颜色分别是红色、黄色、蓝色和白色，从口袋中随机摸出个小球，摸到红色小球和白色小球的概率是（ ）A B C D14为了解决某学校门前公路的交通状况，从行驶过的汽车中随机抽取辆进行统计分析，绘制出关于它们车速的频率分布直方图（如图所示），那么车速在区间的汽车大约有（ ）A B C D15已知平面、，直线、，下面的四个命题；中，所有正确命题的序号是（ ）A B C D16当，满足条件 时，目标函数的最大值是（ ）A B C
3、D17针对年全面建成小康社会的宏伟目标，十八大报告中首次提出“实现国内生产总值和城乡居民人均收入比年翻一番”的新指标按照这一指标，城乡居民人均收入在这十年间平均增长率应满足的关系式是（ ）A B C D18一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（ ）A B C D19将长度为米的绳任意剪成两段，其中一段的长度小于米的概率是（ ）A B C D20记时钟的时针、分针分别为、（为两针的旋转中心）从点整开始计时，经过分钟，的值第一次达到最小时，那么的值是（ ）A B C D第二部分 非选择题（共40分）二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）21计算的结果为 22已知圆，那么圆心到
4、坐标原点的距离是 23某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的的值为 24已知数列是公差为的等差数列，且各项均为正整数，如果，那么的最小值为 三、解答题（共4个小题，共28分）25（本小题满分7分）如图，在正方体中，是棱的中点（）证明：平面；（）证明： 26（本小题满分7分）在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，两点的纵坐标分别为，（）求的值；（）求的面积27（本小题满分7分）已知圆，直线过点且与圆相交于，两点（）如果直线的斜率为，且，求的值；（）设直线与轴交于点，如果，求直线的斜率28（本小题满分7分）已知函数满足：的一个零点为；的最大值
5、为； 对任意实数都有（）求，的值； （）设函数是定义域为的单调增函数，且当时，证明： 数学试卷参考答案一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的 1【答案】C【解析】由于集合，因此，故选C2【答案】C【解析】令，解得或，因此不等式的解集为，故选C3【答案】D【解析】根据向量的坐标运算，故选D4【答案】A【解析】根据两条直线平行的条件可知，得，故选A5【答案】B【解析】根据题意，求的最小值可应用均值不等式，则，当且仅当，即时等号成立，故选B6【答案】A【解析】根据图象平移左加右减的原理，要得到函数的图象，只要将函数的图象向左平移个单位，故选A7【答案】A【解析】由等差数列前和的
6、计算公式，知，解得，故选A8【答案】B【解析】对于A，定义域为，是偶函数；对于B，定义域为，是奇函数；对于C，定义域，因此是非奇非偶函数；对于D，定义域，不关于原点对称，因此是非奇非偶函数，故选B9【答案】D【解析】根据诱导公式，故选D10【答案】B【解析】根据辅助角公式，最小正周期，故选B11【答案】C【解析】当时，函数是减函数，那么当时，取得最大值，不符合题意；当时，函数是增函数，那么当时，取得最大值，即，故选C12【答案】A【解析】根据正弦定理：，可得，即，那么或，因为，所以，所以，故选A13【答案】A【解析】根据题意符合古典概型的条件，基本事件空间（红色，黄色），（红色，蓝色），（红色
7、，白色），（黄色，蓝色），（黄色，白色），（蓝色，白色）基本事件总数为，摸到红色小球和白色小球的事件为（红色，白色），事件数为，摸到红色小球和白色小球的概率是，故选A14【答案】D【解析】根据频率分布直方图可知，车速在区间的概率为，车辆数为：，故选D15【答案】A【解析】若两条直线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面正确；若两条都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行，正确；若两个面垂直，两个面内的直线不一定互相垂直，错误；若两个平面平行，两个面内的直线平行或异面，错误，故选A16【答案】C【解析】根据题意，不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当过点时，取得最大值，故选
8、C17【答案】C【解析】根据题意可知，设原收入为，则十年后为，因此，即，故选C18【答案】B【解析】由三视图可知该空间几何体的直观图为横着放的直三棱柱，故选B19【答案】B【解析】根据题意，符合几何概型的条件，因此将概率转化为长度的比，那么长度小于 米的概率是，故选B20【答案】B【解析】因为，所以要使的值第一次达到最小时，对应的夹角，因为时针一分钟转的角度为：，分针一分钟旋转的角度为：，经过分钟后，有，即，解得，故选B第二部分 非选择题（共40分）二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）21【答案】【解析】根据指数与对数的运算法则，故答案为：22【答案】【解析】由题知，圆心，因此圆心到
9、坐标原点的距离，故答案为：23【答案】【解析】第一次循环，当时，；第二次循环，当时，；第三次循环，当时，；第四次循环，当时，；当时，循环结束，输出的值为，故答案为24【答案】【解析】根据等差数列的通项公式，且各项均为正整数，即，只有当，或，解得，或，有最小值，故答案为：三、解答题（共4个小题，共28分）25证明：（）连接交于，连接，因为是正方形，所以为的中点，因为是棱的中点，所以又因为平面，平面，所以平面（）因为是正方形，所以因为平面，且平面，所以又因为，所以平面又因为平面，所以26解：（）因为在单位圆中，点的纵坐标为，所以，因为，所以，所以（）因为在单位圆中，点的纵坐标为，所以因为，所以由（）得，所以又因为，所以的面积27解：（）由已知，直线的方程为，圆心到直线的为因为，所以，解得由，得（）设，直线：，则点因为，所以或，当时，所以，由方程组，得当时，所以，由方程组得综上，直线的斜率为，28 解：（）因为的一个零点为，所以，即又因为对任意都有，所以，即因为的最大值为，所以，所以（）由（）可知，因为，所以因为，所以因为是单调递增函数，所以记，所以 同理，由，得所以由于，可取自然数，于是，即而且，所以
