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1、Ne w Pa g e 1 5. 1 正弦交流电的基本概念 本节主要讲正弦交流电的基本概念，我们必须掌握。 一、正弦交流电的三要素 我们中学时学过周期这个概念，现在我们来复习一下，所谓周期信号就是每隔一定的时间T ，电流和电压的 波形重复出现。我们用数学表示式为 f （t ）= f （t + K T ） 式中K 为任何整数。我们把周期信号完成一个循环所需要的时间T 称为周期，周期的单位为秒（S）。 我们又把周期信号在单位时间内完成的循环次数称为频率，显然，频率与周期的关系为f = 1/ T 频率的单位为赫兹（H z ）我国电力网所供给的交流电的频率是50 H z ，它的周期是0 . 0 2 S
2、。 周期信号不仅有大小而且有方向例如右图： 假如通过它的方向是图B所示，那么，当i （t ）的波形为正时，表示电流的 实际方向与参考方向一致，当i （t ）的波形为负时，则表示相反。 按正弦（余弦）规律变化的周期信号，称为正弦交流电。简称交流电，以电流为例，其瞬是表达式为 i （t ）= Im CO S（t + i ） 其波形如图C所示，式中Im 称为振幅或最大值，它表示正弦波的变化范围， t + i 称为正弦波的相位，它表示正弦量变化的进程，因为相位是用角度表示的，故又称为相位角。 我们在中学时已经知道 = 2 / T = 2 f 称为角频率，其单位是弧度/ 秒（r a d / s ） 当t
3、 = 0 时，相位角为i ，称为初相位或初相角，简称初相。一般规定它的范围在- 二、相位差 有两个同频率正弦交流电，它们分别为 u 1（t ）= U 1m CO S（t + 1） u 2 （t ）= U 2 m CO S（t + 2 ） 它们的相位之差称为相位差，用表示，即= （t + 1）-（t + 2 ）= 1-2 如果0 ，我们称u 1（t ）超前u 2 （t ），u 1（t ）先达到正的最大值； 如果= 0 ，我们称u 1（t ）与u 2 （t ）同相，即初相相等，u 1（t ）与u 2 （t ）同时达到正的最大值； 如果= ，我们称u 1（t ）与u 2 （t ）反相，如果u 1（t
4、 ）达到正的最大值，则u 2 （t ）达到负的最大值； 三、举例说明 例 设有两个频率相同的正弦电流 h t t p : / / w w w . a i h u a u . c o m / d i a n l u / d i a n l u 5/ 5. 1. h t m （第 12 页）2 0 0 8 -11-13 15: 2 8 : 2 6 Ne w Pa g e 1 i 1（t ）= 5CO S（t + 6 0 ）A i 2 （t ）= 10 SIN（t + 40）A 问哪一个电流滞后，滞后的角度是多少？ 解 首先，把i 2 （t ）改写称用余弦函数表示，即 i 2 （t ）= 10 SI
5、N（t + 40 ）A = 10 SIN（90+ t -50）A = 10 CO S（t -50）A 所以 = 1-2 = 6 0 -（-50）= 110 电流i 2 （t ）滞后的角度是110 返回 下一节 h t t p : / / w w w . a i h u a u . c o m / d i a n l u / d i a n l u 5/ 5. 1. h t m （第 2 2 页）2 0 0 8 -11-13 15: 2 8 : 2 6 Ne w Pa g e 2 5. 2 利用相量表示正弦交流电 在分析电路的正弦稳态响应时，经常遇到正弦波的代数、微分等复杂运算，为此，我们借用复
6、数来表示正 弦交流电，从而可以使正弦稳态电路的分析和计算得到减化。 一、复数的概念 A = a 1+ j b 1 （ 这是我们中学时所学的代数形式） A = a CO S+ j a SIN （这是我们中学时所学的三角形式） 我们知道，一个复数还能表示成指数型。 A = a e j 式中a 称为复数A 的模，称为复数A 的辐角。把它在平面上表示如图A 所示 a 1= a c o s a 2 = a s i n a 1和a 2 也可以表示为 a 1= Re A a 2 = Im A 式中Re 表示取复数A 的实部，Im 表示取复数A 的虚部，它的指数型常简写为 二、利用相量表示正弦交流电 假设某正
7、弦电流为 i （t ）= Im CO S（t + i ） 根据欧拉公式 e j = CO S+ j SIN 我们可以把复指数函数Im e j （t + i ）= Im CO S（t + i ）+ j I m SI N（t + i ） 上式的实部恰好是正弦电流i （t ），即 i （t ）= Re Im e j （t + i ）= I m CO S（t + i ） 这样，我们就把正弦交流电与复指数函数联系起来，一个正弦波是由振幅、频率和初相位三个要素所决 定的。电路各处的电流和电压的频率是相同的。这样，在正弦稳态响应的三要素中，只需要确定它们的 振和初相两个要素。 i （t ）= Re Im e
8、 j （t + i ）= Re Im ej i ej t = Re h t t p : / / w w w . a i h u a u . c o m / d i a n l u / d i a n l u 5/ 5. 2 . h t m （第 12 页）2 0 0 8 -11-13 15: 2 9: 52 Ne w Pa g e 2 式中 = Im e j i 复数的模是正弦交流的振复，辐角是正弦电流的初相角。为了把这样一个能 表示正弦交流电的复数与一般的复数相区别，把它叫做相量，并在符号上方加上一点以示区别。称 为电流相量。 三、举例说明 例 电路如图所示，已知i 1和i 2 为频率相同的
9、正弦电流，即 i 1（t ）= 5CO S（t + 36 . 9）A i 2 （t ）= 10 CO S（t -53. 1）A 试求电流i （t ）。 解 正弦电流i 1和i 2 分别用复数表示为 i 1= Re e j t i 2 = Re e j t 式中= 5e j 36 . 9A ，= 10 e -j 53. 1A 。根据K CL，有 i = i 1+ i 2 = Re e j t + Re e j t 根据定理2 ，得 i = Re （+）e j t = Re e j t 式中=+是电流i 的相量。由上式可知，电流i 的角频率也是。 我们可以得出一个结论：同频率的正弦电流相加，其结果
10、仍是频率相同的正弦交流电。 电流 i 的相量为 =+= 5e j 36 . 9+ 10 e -j 53. 1= （4+ j 3）+ （6 -j 8 ）= 10 -j 5= 11. 18 e -j 2 6 . 6 A 故电流i 的表达式为 i = 11. 18 CO S（t -2 6 . 6 ）A 返回 下一节 h t t p : / / w w w . a i h u a u . c o m / d i a n l u / d i a n l u 5/ 5. 2 . h t m （第 2 2 页）2 0 0 8 -11-13 15: 2 9: 52 Ne w Pa g e 1 5、3 基本元件
11、上的相量关系及基尔霍夫定律的相量形式 在交流电路中，基本的无源元件是电组、电感和电容。我们先讨论在正弦稳态情况下，这三种元件上的 电流和电压之间的相量关系，再讨论K CL和K VL的相量形式。 一、电阻元件的相量关系 假设电阻R两端的电压与电流的参考方向如图A 所示，通过电阻的正弦电流为i （t ）= I m CO S（t + i ） 对电阻元件而言，电流和电压之间满足欧姆定律，即 U （t ）= Ri （t ）= RI m CO S（t + i ）= U m CO S（t + u ） 上式表明：电压U 和电流I 的频率相同，电压的振幅U m = RI m （或电压有效值U = RI ），而且
12、电压与电流 同相，即 U m = RI m u = i 同样 二、电感元件的相量关系 设有一电感L，其电流与电压参考方向如 图A 所示。 当通过电感的电流为i （t ）= I m CO S（t + i ）时，电感两端的电压 U （t ）= U m CO S（t + u ） 由上式可得 U m = LI m u = i + 90 式中U m 为电压振幅；u 为电压的初相角。 以上两式表明：电感电压与电流是相同频率的正弦量，但电压的相位超前电流90 它们振幅之间的关系为 h t t p : / / w w w . a i h u a u . c o m / d i a n l u / d i a
13、n l u 5/ 5. 3. h t m （第 13 页）2 0 0 8 -11-13 15: 30 : 49 Ne w Pa g e 1 式中XL= L= 2 f L具有电阻的量纲，称为感抗。它的单位称位欧姆。 三、电容元件的相量关系 设有一电容C，其电压和电流采用关联参考方向， 如图所示。 当电容两端的电压为U （t ）= U m CO S（t + u ）时，通过电容的电流 i = I m CO S（t + i ） 由上式可得 I m = CU m i = u + 90 上两式表明：通过电容的电流与电压是相同频率的正弦量，而且电流的相位超前电压90 。 它们振幅之间的关系为 ，具有电阻的量
14、纲，称为容抗。它的单位是欧姆。 四、基尔霍夫定律的相量形式 我们这样来描述它： （1）K CL定律 = 0 表示流出任意节点的各支路电流相量的代数和恒等于零。 （2 ）K VL定律 = 0 表示沿任意闭合回路绕行一周，各支路电压相量的代数和恒等与零。 举例说明： 例：如图（a ）所示RL串联电路。已知以下条件 R= 50 ，L= 2 5H ，u s （t ）= 10 CO S10 6t V。 求电流i （t ），并画出相量图。 解 激励 u s （t ）的相量为 = 10 e j 0 由K VL得 = Rm+Lm h t t p : / / w w w . a i h u a u . c o
15、m / d i a n l u / d i a n l u 5/ 5. 3. h t m （第 2 3 页）2 0 0 8 -11-13 15: 30 : 49 Ne w Pa g e 1 由于是RL串联电路，通过R和L为同一电流i ，所以 Rm= R ， Lm= j XL 式中 XL= L= 10 62 510-6= 2 5 于是 = R+ j XL= （R+ j XL） 因此我们可以得到的值如下： 相量图 故 i （t ）= 0 . 17 9CO S（10 6t -2 6 . 6）A 返回 下一节 h t t p : / / w w w . a i h u a u . c o m / d i a n l u / d i a n l u 5/ 5. 3. h t m （第 33 页）2 0 0 8 -11-13 15: 30 : 49 Ne w Pa g e 2 5. 4 阻抗与导纳 本节主要讲一些新的概念，我们必需熟练掌握。 一、阻抗与导纳 （1）阻抗 设有一无源二端网络，在正弦稳态情况下，端电压和输入电流均用相量表示，如下图所示： 我们把电压相量与电流相量的比值定义为阻抗，并用Z表示 或者 显然，阻抗的量纲为欧姆。 如过无源二端网络
