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1、八年级数学暑假专题平方根知识要点分析1、无理数的概念（这是重点）无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数.带根号的数不一定是无理数,如;无理数也不一定带根号,如圆周率.2、算术平方根（这是重点）如果一个数x的平方等于a即 ，那么这个正数x就叫做a 的算术平方根，记作“”，读作根号“a”；规定0的算术平方根即=0，如，那么2叫做4的算术平方根。3、平方根（这是重、难点）平方根：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）；平方根的意义：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根；开方：求一个数a的平方根的运算
2、，叫做开平方，其中a叫做被开方数。【典型例题】考点一：无理数的概念例1. 如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的AC、BD相交于O，试说明边长AB、BC、CD、AD和对角线AC、BD的长度哪些是有理数，哪些不是有理数。【思路分析】从图上看AC、BD、AB是有理数，因此BC、CD、AD的长度不是有理数解：AC=7，BD=5是有理数，而AO=4，BO=3，CO=3，DO=2，由勾股定理AB2=32+4=25,AB=5是有理数，而BC2=32+32=18,CD2=32+22=13,AD2=42+22=20,因此BC 、CD、 AD 的长度不是有理数。方法与规律:利用网格的特点进行分析，并借助
3、勾股定理及数的平方来判定什么是有理数，什么不是有理数。例2 如图，在ABC中，ACb,CD=5，高AD可能是整数吗?可能是分数吗?可能是有理数吗?【思路分析】找出直角三角形,利用勾股定理计算AD的平方是b2-25，由于b的取值不同,结果不一样，不妨试一试解：可能是整数，可能是分数，也可能是无理数.方法与规律：根据有理数的特点，只要这个数是整数或分数则属于有理数，否则，不是有理数。考点二：算术平方根例3. 求下列各数的算术平方根。（1）225 （2） （3） （4）【思路分析】求一个正数的算术平方根，只要先找出一个正数的平方等于这个数，不必考虑负数平方等于这个数；如果一个数为带分数，一般先化成假
4、分数，再求其算术平方根。解：（1）因为152=225，所以225的算术平方根是15，即=15。（2）因为=，所以的算术平方根是，即= 。（3）1=，因为（）2=，所以1的算术平方根是（或1），即=1。（4）因为（）2=（）2，所以的算术平方根是，即=方法与规律:根据算术平方根的定义，首先确定哪个数的平方等于这个数，然后求出这个数的算术平方根。考点三：平方根例4：求下列各数的平方根。(1)0.36 (2) (-1.3)(3) (4) 31【思路分析】求一个正数的平方根，先找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个，互为相反数，不能只考虑正数而把负数遗漏了；如果一个数为带分数则一般先化为假分数；如果
5、这个正数a不能写成有理数的平方形式，则可以将a的平方根表示成。解：（1）因为（0.6）=0.36，所以0.36的平方根是0.6，即=0.6。（2）因为，所以的平方根是1.3，即=1.3。（3），因为（）=，所以的平方根是，即=。（4）31的平方根是。方法与规律:掌握平方根的定义，首先确定哪个数的平方等于这个数，然后求出这个数的平方根，注意书写。考点四：平方根与算术平方根的应用例5：已知一个数的两个平方根分别是2x+1与3-x，求这个数。【思路分析】根据平方根的性质，若一个数有两个平方根，它们互为相反数，所以2x+1与3-x互为相反数，即（2x+1）+(3-x)=0.解：根据题意,得（2x+1）
6、+(3-x)=0,解这个方程,得x=-4当x=-4时, 2x+1=-7,3-x=7,所以这个数是49.友情提示：本题是逆用平方根的性质.例6：借助计算器计算下列各题:(1)=_;(2)(3) (4) 仔细观察上面几道题及其计算的结果,试猜想:=_.【思路分析】仔细观察可得,猜想题是(1)(4)的拓展,用计算器得出(1)(4)的结果后,便可发现规律:被开方数是两个正整数的平方和,这两个数分别是由4和3组成的,且数字4的个数和3的个数相等,因此当被开方数是2009个4组成的数与2009个3组成的数的平方和时,所得结果应为2009个5组成的数。解: (1)5(2)55 (3)555 (4)5555猜
7、想: 方法与规律总结:本题是探索题,也就是找规律,因此要认真分析,找出题目中的共同点,从而发现规律。例7：自由下落物体的高度（h）与下落时间t(秒)的关系为，有一铁球从80米高的建筑物上自由下落到地面需要多少时间？（精确到1秒）【思路分析】把h=80代入已知的公式中便可得出一个关于t的方程，利用平方根的概念求解即可，注意把不符合题意的解舍去。解：把h=80代入中，得，所以则因为t表示时间只能取正值，所以t=-4舍去，因此t=4.答：这一铁球从80米高的建筑物上自由下落到地面需要4秒。【本讲涉及的数学思想和方法】本讲主要讲了无理数、平方根及算术平方根。在利用平方根或算术平方根的概念解题时要注意把
8、问题转化成方程的问题求解，也就是利用了方程的数学思想。1.下列说法正确的是（ ）A.一个数总大于它的立方根；B.非负数才有立方根；C.任何数和它的立方根的符号相同；D.任何数都有两个立方根。2.，则x的值是（ ）A.-9 B.27 C.27 D.-273-8的立方根与4的算术平方根的和是（ ）A.0 B.4 C.-4 D.0或44不用计算器，估计的大小应在（ ）A、67之间 B、77.5之间C、7.58之间 D、89之间5通过估算判断：6绝对值小于的整数有_。7与的大小关系是_。8【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、认认真真选(每小题4分,共40分)1. 下列关于数的说法正确的是（ ）A.
9、有理数都是有限小数B. 无限小数都是无理数C. 无理数都是无限小数D. 有限小数是无理数2. 数351.021021021是（ ）A. 无理数 B. 有理数C. 有限小数 D. 以上都有可能3. 下列各式中正确的是( )A. =5 B. 2=-3 C. =6 D. =104. 当x=-时,的值为( )A. B.- C. D.5. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是B. -a2一定没有平方根C. 0.9的平方根是0.3 D. a2-1一定有平方根6. 已知正方形的边长为a，面积为S，则（ ）A. S= B. S的平方根是a C. a是S的算术平方根 D. a=*7. 下列说法：任何数都有算
10、术平方根；一个数的算术平方根一定是正数；a的算术平方根是a；（-4）的算术平方根是-4；算术平方根不可能是负数。其中，不正确的有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个8. 已知，则x为（ ）A. 5 B. -5 C. 5 D. 以上都不对9. 当时，的值为（）A. 0B. C. D. 10. 16的算术平方根和25的平方根的和是（ ）A. 9 B. -1 C. 9或-1 D. -9或1二、仔仔细细填(每小题4分,共32分)11. 下列各数：3.141 0.33333 0.3030003000003（相邻两个3之间0的个数逐次增加2） 0.0.其中是有理数的有_；是无理数的有_.（
11、填序号）12. 一个正数的平方根有 ，它们的和为 。*13. 0.0036的平方根是 ，1的算术平方根是 ，的算术平方根是 。14. =_. 15. 若+=0，则x= 。16. 若的平方根为3，则a= 。*17. 如果一个正数的平方根是a+3与2a-15,则这个正数是_.18. 已知，则.三、平心静气做(共28分)19. (本题8分)设面积为5的圆的半径为y，请回答下列问题：（1）y是有理数吗？请说明你的理由；（2）估计y的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计.20. (本题10分)求下列各数的平方根和算术平方根：（1）7 （2） （3）*21. (本题10分)用计算器计算，根据你发
12、现的规律，判断P=与Q=(n为大于的自然数)的值的大小关系为（ ）A. PQ B.P=Q C.PQ D.与n的取值有关【试题答案】一、1C 【思路分析】无理数是指无限不循环小数,也就是说无理数都是无限小数.2.B 【思路分析】数351.021021021是一个无限循环小数,即该数是一个有理数.3.C 【思路分析】A选项, 是指求25的算术平方根,故=5;B选项, =3;D选项,负数没有算术平方根.4.A 【思路分析】是指的算术平方根,故本题答案是A.5.A 【思路分析】A.=2,求的平方根,即是求2的平方根,是;B选项,当a=0时, -a2有平方根;C选项,0.9的平方根是;D选项,当a2-1
13、是负数时,没有平方根.6.C 【思路分析】根据算术平方根的概念,可知本题答案是C.7.C【思路分析】, 负数没有算术平方根;,0的算术平方根是0; ,a可能是负数,如果是负数,则不成立; -4是负数,一个非负数的算术平方根是非负数;均不正确.8.C【思路分析】的算术平方根是5,故=25,25的平方根有两个, 5.9.B【思路分析】意为求的算术平方根,其平方根x,其中正的平方根是其算术平方根, x0,所以其算术平方根是-x.10.C【思路分析】16的算术平方根是4,25的平方根是5,故本题答案是C.二、11. , 【思路分析】分数和无限循环小数都是有理数;无限不循环小数是无理数.12.两个,0【
14、思路分析】一个正数的平方根有两个,这两个平方根互为相反数,故和为0.13. 0.06,3 【思路分析】求一个带分数的算术平方根时,先化成假分数. =9,即是求9的算术平方根.14. 【思路分析】根据平方根的概念求解.15.0【思路分析】只有非负数才有算术平方根,故,解得x=0.16. 81【思路分析】.17.49【思路分析】由一个正数的两个平方根互为相反数知a+3+2a-15=0,解得a=4,所以这两个平方根是7,这个正数是49.18.25【思路分析】根据算术平方根的非负性知a-2=0,且b+3=0,解得a=2,b=-3,代入即可求解.三、19.（1）由题意得y2=5,即 y2=5.没一个整数或分数的平方等于5,故y是无理数.(2)2.2 【思路分析】先根据面积公式得到关于y的方程,然后进行判断;问题(2),用计算器进行估计.20.（1）7的平方根为，7的算术平方根为； （2）的平方根为7，的算术平方根为7 ； （3）的平方根为（a+b）. 的算术平方根为【思路分析】一个正数有两个平方根，其中正的平方根是它的算术平方根。21. C【思路分析】用计算器计算可知,可以判断PQ。
