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1、 25 ()() 01 2 abc bca x bc + 数列 n a满足 11 ,1/,1,2,. nn aa aaa n + =+=? (I) 已知数列 n a极限存在且大于零,求 A= lim n n a (将A用a表示); (II)设,1,2, nn baA n=?证明: 1n b + =/( (); nn bA bA+ (III)若| 1/21,2, n n bn=?对都成立,求a 的取值范围. (2004年湖北高考理科试题第22题) 点评点评 这道压轴题其实质是一次分式函 数( )(1)/f xaxx=+构造的递推数列问题.内 容涉及数列极限、数列恒等式、递推数列的 证明、不等式的
2、证明(归纳法、放缩法).题中 体现了极限的思想、方程的思想、构造的思 想以及归纳的思想.主要考查数列、数列极限 的概念和数学归纳法,考查考生灵活运用数 学知识分析问题和解决问题的能力.(解答过 程略) 下面来看近几年部分省市高考的一次分 式递推数列问题,以便进一步说明一次分式 函数( )()/()(),f xaxbcxdadbc=+构造出 的递推数列问题有丰富的内涵. 1 一次分式递推数列的迭代周期一次分式递推数列的迭代周期 一次分式函数( )(), axb f xadbc cxd + = + 其 系数对应着一个二阶矩阵 a b A c d = ,而迭代 26 式 2( ) ( ( )fxf
3、f x= 2 2 ()() ()() abc xabbd accd xbcd + = + 的系数对应着A的平方 2 2 2 . abbd abc A accdbcd + + = + 一般地,我们有迭代式( ) n fx的系数与 n A 对应.于是,一次分式函数的n次迭代就转化 为求矩阵A的n次方.特别地, 0 0 n t A t = (0),t便有( ( )f ff x?x=,就是所谓 的不动点函数. 例例 1(2005年高考 湖南卷 文科第5题) 已知数列 n a满足 11 3 0, 31 n n n a aa a + = + (n *) N,则 20 a=( ) (A)0, (B)3, (
4、C)3, (D)3/2. 解解 由 * 11 3 0,() 31 n n n a aanN a + = + , 得 1 2 1 33 3, 131 a a a = + 2 3 2 333 3, 313(3)1 a a a = + + 3 4 3 333 0, 313( 3)1 a a a = + 可以归纳出数列 n a是以3T =的周期 数列.从而, 206 3 22 3.aaa + = 故选B. 2 一次分式递推数列的无穷数列与有穷数列一次分式递推数列的无穷数列与有穷数列 我们知道对于一次分式函数( )f x= (ax+ )/()bcxd+(),adbc构造出的数列 n a是否 为无穷数列,
5、以及当它为有穷数列时,共有多少项, 不仅与, , ,a b c d有关,而且与初始值 1 a有关1. 例例 2 (2005年高考 福建卷 理科第22题) 已知数列 n a满足 11 ,1 1/ nn aa aa + = +. 我们知道当a取不同的值时,得到不同的数列. 如当1a =时,得到无穷数列:1,2,3/2,5/3,?; 当1/2a = 时,得到有穷数列: 1/2, 1,0. (1)求当a取何值时, 4 0;a = (2)设数列 n b满足 11 1,1/(1) nn bbb + = = (n *) N,求证a取数列 n b中的任一个数, 都可以得到一个有穷数列 n a; (3)若2/3
6、2(4), n an若取3A =则)体现命题者的独具匠 心.进而考查数列、等比数列、不等式等基本知 识,考查考生运用数学归纳法解决有关问题的 能力. 细心读者可以发现本题与前面的2004年 湖北高考理科试题第22题如同出一辙. 5 利用一次分式函数构造递推数列问题利用一次分式函数构造递推数列问题 历年高考题中,有一定数量的以高等数 学为背景的试题.我们说利用高等数学、初等 数学研究的一些知识和方法,学会编造中学 数学试题,对高三复习以至中学数学教学工 作是大有裨益的. 下面我们用一次分式递推 数列构造一道高一学生就能处理的问题. 例例6 已知函数( ), 21 x f x x = + 若数列
7、n a 满足 * 11 1 ,(),2) 2006 nn aaf anNn = =（. (1)求数列 n a的通项公式; (2)令 1 / nnn baa =,求数列 n b中的项最 大值、最小值及相应的n值. 新课程的实施和高考命题工作的改革, 都要求我们作为一名高中教师,不仅要研究 教材、了解数学的来龙去脉,还应掌握高等数 学与初等数学之间的内在联系,多运用高等 数学的方法,居高临下地解释一些初等数学 问题, 多探讨高等数学对初等数学教学的指 导意义.这样做既有利于提升教师的业务能 力,促进教师的专业成长,为成为科研型、 发展 型、专家型的教师打下坚实的基础;又有助于 学生后续学习. 参考
8、文献参考文献 1 杨之.初等数学研究的问题与课题.湖南教育出版 社.1993 2 龚辉斌.递推数列 1 / nn apq a + =+的通项公式及 其应用.数学通讯,2001.13. 3 袁秀萍. 用矩阵方法求分式递归数列 n x 11 ()/() nn axbcxd =+的通项公式.西华师范大学学 报(自然科学版).2005.3. 例谈函数值域的求法例谈函数值域的求法 福建泉州泉港区美发中学福建泉州泉港区美发中学 庄绍红庄绍红 求函数的值域是中学数学的一个重要内 容,也是函数教学中的一个难点.一旦函数的 定义域和对应法则确定了,函数的值域也就 随之确定.函数值域求法灵活多样,它所涉及 的知识面宽,用到的数学思想方法多,在求解 中必须仔细观察函数表达式的结构特征,采 取相应的解法,灵活机动地“变通”.下面介绍 几种常用的求函数值域的初等方法. 1 观察法观察法 根据完全平方数、算术根、绝对值都是非负 数的特点,及函数的图像、 性质、 简单的计算、 推理,凭观察能直接得到一些简单的复合函 数的值域.或通过对函数定义域及其解析式 的分析,利用熟知的基本函数的值域,观察求 得函数的值域.
