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1、2019年广东省东莞市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合，2，则等于ABC，D，2（5分）已知是虚数单位，则A10BC5D3（5分）现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为ABCD4（5分）双曲线的焦点到渐近线的距离为A2BC1D35（5分）由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为ABCD6（5分）函数且的图象恒过点，且点在角的终边上，则ABCD7（5分）如图所示，中，点
2、是线段的中点，则ABCD8（5分）已知是等差数列，是正项等比数列，且，则A2274B2074C2226D20269（5分）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是A，B，C，D，10（5分）三棱锥中，平面，的面积为2，则三棱锥的外接球体积的最小值为ABCD11（5分）在中，则的最大值为ABCD12（5分）设函数，则满足的的取值范围是A，B，C，D，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）曲线在点，（1）处的切线的斜率为14（5分）若，满足约束条件，则 的最小值为15（5分）设双曲线的左右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值等于 16（5分）圆锥底面
3、半径为1，高为，点是底面圆周上一点，则一动点从点 出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点，则绕行的最短距离是三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知等差数列的首项，且、构成等比数列（1）求数列的通项公式（2）设，求数列的前项和18（12分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组（记为甲组、乙组）先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录
4、每周培训后测试达标的人数如表：第一周第二周第三周第四周甲组2025105乙组8162016（1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到，并据此判断哪种培训方式效率更高？（2）在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率19（12分）如图，四棱锥中，菱形所在的平面，是中点，是的中点（1）求证：平面平面；（2）若是上的中点，且，求三棱锥的体积20（12分）已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若椭圆的右焦点到直线的距离是3（）求椭圆的方程；（）设过点的直线与该椭圆交于另一点，当弦的长度最大时，求直
5、线的方程21（12分）已知函数（1）若，求的单调区间；（2）当时，记的最小值为，求证：（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为：为参数，曲线的极坐标方程为：（1）写出曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，若，求直线的斜率选修4-5：不等式选讲23设函数（1）求不等式 的解集；（2）当，时， 恒成立，求 的取值范围2019年广东省东莞市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分
6、，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合，2，则等于ABC，D，【解答】解：集合，2，则，故选：2（5分）已知是虚数单位，则A10BC5D【解答】解：，故选：3（5分）现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为ABCD【解答】解：现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件总数，乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数，乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率故选：4（5分）双曲线的焦点到渐近线的距离为A2BC1D3【解答】解：双曲线中，焦点坐标为，渐近线方程为：，双
7、曲线的焦点到渐近线的距离：故选：5（5分）由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为ABCD【解答】解：由的图象向左平移个单位，可得 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，可得 的图象，故选：6（5分）函数且的图象恒过点，且点在角的终边上，则ABCD【解答】解：对于函数且，令，求得，可得函数的图象恒过点，且点在角的终边上，则，故选：7（5分）如图所示，中，点是线段的中点，则ABCD【解答】解：如图所示，故选：8（5分）已知是等差数列，是正项等比数列，且，则A2274B2074C2226D2026【解答】解：设等差数列的公
8、差为，正项等比数列的公比为，解得，则故选：9（5分）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是A，B，C，D，【解答】解：由、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，得：在中，则与相交、平行或，故选；在中，则由线面平行的性质定理得，故正确；在中，则与相交或平行，故错误；在中，则与平行或异面，故错误故选：10（5分）三棱锥中，平面，的面积为2，则三棱锥的外接球体积的最小值为ABCD【解答】解：设，由于平面，平面，则的面积为，则，由正弦定理知，的外接圆直径为，所以，三棱锥的外接球直径为，当且仅当，即当时，等号成立，则所以，该三棱锥的外接球的体积为因此，三棱锥的外接球体积的最小值为故
9、选：11（5分）在中，则的最大值为ABCD【解答】解：中，则：，则：，由于：，所以：，所以最大值为故选：12（5分）设函数，则满足的的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：当时，的可变形为，当时，的可变形为，故答案为，故选：二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）曲线在点，（1）处的切线的斜率为【解答】解：曲线，可得，所以曲线在点，（1）处的切线的斜率为：故答案为：14（5分）若，满足约束条件，则 的最小值为【解答】解：画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数过点时取得最小值，由，解得，代入计算，所以的最小值为故答案为：15（5分）设双曲线的左右焦点分别为，过的直线交
10、双曲线左支于，两点，则的最小值等于16【解答】解：根据双曲线，得：，由双曲线的定义可得：，可得：，过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点，当是双曲线的通径时最小故答案为：1616（5分）圆锥底面半径为1，高为，点是底面圆周上一点，则一动点从点 出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点，则绕行的最短距离是【解答】解：圆锥的侧面展开图为扇形，其弧长为底面圆的周长，即圆锥的母线长为3扇形的圆心角，一动点从点 出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点，则绕行的最短距离是：故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要
11、求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知等差数列的首项，且、构成等比数列（1）求数列的通项公式（2）设，求数列的前项和【解答】解：（1）等差数列的首项，公差设为，、构成等比数列，可得，即为，解得或，当时，不成立，舍去，则，可得；（2），前项和18（12分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组（记为甲组、乙组）先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：第一周第二周第三周第四周甲组2025105乙组8162016（1）用方式一与方式二
12、进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到，并据此判断哪种培训方式效率更高？（2）在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率【解答】解：（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为、，则（小时）（2分）（小时）（4分）据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因，据此可判断培训方式一比方式二效率更高（6分）（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，则这6人中来自甲组的人数为：，（7分）来自乙组的人数为：，（8分）记来自甲组的2人为：、；来自乙组的4人为：、
13、，则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有：，共15种，（10分）其中至少有1人来自甲组的有：，共9种，故这2人中至少有1人来自甲组的概率（12分）19（12分）如图，四棱锥中，菱形所在的平面，是中点，是的中点（1）求证：平面平面；（2）若是上的中点，且，求三棱锥的体积【解答】证明：（1）连结，底面为菱形，是正三角形，是中点，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面解：（2）是上的中点，且，三棱锥的体积：20（12分）已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若椭圆的右焦点到直线的距离是3（）求椭圆的方程；（）设过点的直线与该椭圆交于另一点，当弦的长度最大时，求直线的方程【解答】解：（）由题意：，右焦点，到直线的距离为：，又，又椭圆的焦点在轴上，椭圆的方程为：（）当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，设，联立，得：，设，
