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1、2019年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数ABCD2（5分）设集合，1，2，3，2，3，则A，B，C，1，D，2，3（5分）已知平面向量，的夹角为，则A3B2C0D4（5分）已知函数，则A的最小正周期是，最大值是1B的最小正周期是，最大值是C的最小正周期是，最大值是D的最小正周期是，最大值是15（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是A55B45C66D366（5分）若，则函数的两个零点分别位于区间A和内B和内C和内D和内7（5分）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是ABC
2、D8（5分）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是ABCD9（5分）在中，则的面积为A15BC40D10（5分）法国机械学家莱洛发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形，它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，在封闭曲线内随机取一点，则此点取自正三角形之内（如图阴影部分）的概率是ABCD11（5分）四棱锥的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形的边长为4，则四棱锥的体积最大值为ABCD12（5分）直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，交其准线于点，已知，则A2BCD4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）若实数，满足约束条件，则的最大
3、值是14（5分）在正方体中，分别为，中点，则异面直线与所成角的余弦值为15（5分）已知，均为锐角，则16（5分）已知函数，且（a），则三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17（12分）已知等差数列满足，（）求的通项公式；（）设是等比数列的前项和，若，求18（12分）为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：，经统计，其高度均在区间，内，将其按，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图其中高度为及以上的树苗为优质树
4、苗（1）求图中的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于，两个试验区，部分数据如下列联表：试验区试验区合计优质树苗20非优质树苗60合计将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质树苗与，两个试验区有关系，并说明理由下面的临界值表仅供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中19（12分）如图，四棱锥中，底面，点为棱的中点证明：平面；（）求点到平面的距离20（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点，（）求椭圆的
5、方程；（）与轴不垂直的直线经过，且与椭圆交于，两点，若坐标原点在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围21（12分）已知函数求曲线在点，（1）处的切线方程；（）若在上恒成立，求实数的取值范围(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分,不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为（）求和的直角坐标方程；（）过点作直线的垂线交曲线于
6、，两点，求选修4-5：不等式选讲23已知函数（）解不等式；（）已知且对于，恒成立，求实数的取值范围2019年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数ABCD【解答】解：故选：2（5分）设集合，1，2，3，2，3，则A，B，C，1，D，2，【解答】解：集合，1，2，3，2，3，则，1，故选：3（5分）已知平面向量，的夹角为，则A3B2C0D【解答】解：向量，的夹角为，则，故选：4（5分）已知函数，则A的最小正周期是，最大值是1B的最小正周期是，最大值是C的最小正周期是，最大值
7、是D的最小正周期是，最大值是1【解答】解：函数，故函数的周期为，当，即：时，函数取最大值为故选：5（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是A55B45C66D36【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值 由于故选：6（5分）若，则函数的两个零点分别位于区间A和内B和内C和内D和内【解答】解：，（a），（b），（c），由函数零点存在判定定理可知：在区间，内分别存在一个零点；又函数是二次函数，最多有两个零点，因此函数的两个零点分别位于区间，内故选：7（5分）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是ABCD【解答】解：抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程设为，
8、可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线距离为故选：8（5分）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是ABCD【解答】解：由图可知，故可排除，；对于，当时，故可排除故选：9（5分）在中，则的面积为A15BC40D【解答】解：，由余弦定理可得：，可得：，解得：，或（舍去），故选：10（5分）法国机械学家莱洛发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形，它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，在封闭曲线内随机取一点，则此点取自正三角形之内（如图阴影部分）的概率是ABCD【解答】解：设正三角形的边长为，由扇形面积公式可得封闭曲线的面积为，由几何概型中的面积型可得：此点取自正三角
9、形之内（如图阴影部分）的概率是，故选：11（5分）四棱锥的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形的边长为4，则四棱锥的体积最大值为ABCD【解答】解：四棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面为正方形，球的半径为3，下底面的边长为4，若四棱锥的体积最大，则球心在高上，且四棱锥为正四棱锥设四棱锥的高为，则下底面的中心到的距离，可得，即，可得（舍或则该四棱锥的体积的最大值故选：12（5分）直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，交其准线于点，已知，则A2BCD4【解答】解：过，分别作准线的垂线交准线于，且，设，则，根据三角形的相似性可得，即，解得，即，故选：二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
10、。13（5分）若实数，满足约束条件，则的最大值是8【解答】解：画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数过点时取得最大值，由，解得，代入计算，所以的最大值为8故答案为：814（5分）在正方体中，分别为，中点，则异面直线与所成角的余弦值为【解答】解：取的中点，连接，因为，所以（或其补角）为异面直线与所成角，易得：，即，所以，故答案为：15（5分）已知，均为锐角，则【解答】解：，解得联立，解得为锐角）故答案为：16（5分）已知函数，且（a），则16【解答】解：函数，且（a），当时，（a），解得，不成立，当时，（a），解得故答案为：16三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或
11、演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17（12分）已知等差数列满足，（）求的通项公式；（）设是等比数列的前项和，若，求【解答】解：设等差数列的公差为，解得，（）设等比数列的公比为，联立解得，或18（12分）为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：，经统计，其高度均在区间，内，将其按，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图其中高度为及以上的树苗为优质树苗（1）求图中的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这1
12、20棵树苗来自于，两个试验区，部分数据如下列联表：试验区试验区合计优质树苗20非优质树苗60合计将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质树苗与，两个试验区有关系，并说明理由下面的临界值表仅供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中【解答】解：（1）由频率分布直方图知，解得，计算，估计这批树苗的平均高度为；（2）优质树苗有，根据题意填写列联表，试验区试验区合计优质树苗102030非优质树苗603090合计7050120计算观测值，没有的把握认为优质树苗与，两个试验区有关系19（12分）如图，四棱锥中，底面，点为棱的中点证明：平面；（）求点到平面的距离【解答】证明：（）取的中点，连结，是棱的中点，且，四边形是平行四边形，平面，平面，平面解：（）取中点，连结，则，又底面，平面由（）知平面，点到平面的距离等于点到平面的距离，由，得，点到平面的距离为20（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点，（）求椭圆的方程；（）与轴不垂直的直线经过，且与椭圆交于，两点，若坐标原点在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围【解答】解：（）由题意可得，解得，椭圆的方程为（）设直线的方程为，代入椭圆方程整理可得得，解得或，设，又，
