高二数学1.1《回归分析的基本思想及其初步应用》ppt课件

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1、第一章 统计案例,1.1回归分析的基本思想及其初步应用,a. 比数学3中“回归”增加的内容,数学统计 画散点图 了解最小二乘法的思想 求回归直线方程 ybxa 用回归直线方程解决应用问题,选修-统计案例 引入线性回归模型 ybxae 了解模型中随机误差项e产生的原因 了解相关指数 R2 和模型拟合的效果之间的关系 了解残差图的作用 利用线性回归模型解决一类非线性回归问题 正确理解分析方法与结果,问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间 的函数关系是,问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否 -有一个确定性的关系？,例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验

2、，得到如下所示的一组数据：,复习:变量之间的两种关系,自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。,1、定义：,1）：相关关系是一种不确定性关系；,注,2、现实生活中存在着大量的相关关系。 如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量； 商品的销售额与广告费； 家庭的支出与收入。等等,探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？,10 20 30 40 50,500 450 400 350 300,发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。,探索2：在这些点附近可画直线不止一条， 哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？,施化肥量,水稻产量,散点图,例1 从某大学中随

3、机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。,案例1：女大学生的身高与体重,解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：,2、由散点图知道身高和体重有比较好的 线性相关关系，因此可以用线性回归方程 刻画它们之间的关系。,3、从散点图还看到，样本点散布在某一条 直线的附近，而不是在一条直线上，所以 不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。,我们可以用下面的线性回归模型来表示： y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数， e称为随机误差。,思考P3 产生随机误差项e 的原因是什么？

4、,思考P3 产生随机误差项e的原因是什么？,随机误差e的来源(可以推广到一般）： 1、其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素； 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差； 3、身高 y 的观测误差。,根据最小二乘法估计 和 就是未知参数a和b的最好估计，,根据最小二乘法估计 和 就是未知参数a和b的最好估计，,于是有b=,所以回归方程是,所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为,探究P4： 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？,探究P4： 身高为172cm的女

5、大学生的体重一定是60.316kg吗？ 如果不是，你能解析一下原因吗？,答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg， 但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。,函数模型与回归模型之间的差别,函数模型：,回归模型：,线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和 随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分y的变化。,在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量。,函数模型与回归模型之间的差别,函数模型：,回归模型：,可以提供 选择模型的准则,如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？,在数学3中，我们学习了用相关系数r来衡量两个变

6、量 之间线性相关关系的方法。,相关系数r,相关关系的测度 （相关系数取值及其意义）,r,五.求出线性相关方程后，如何描述斜率估计值 与变化增量值之间相关关系的强弱？通过什么 量来说明？,1.用相关系数 r 来衡量,2.公式：,3.性质：,、当 时，x与y为完全线性相关，它们之间存在确定的函数关系。 、当 时，表示x与y存在着一定的线性相关，r的绝对值越大，越接近于1，表示x与y直线相关程度越高，反之越低。,练:某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表所示数据:,(1)求x,y之间的相关系数; (2)求线性回归方程;,对回归模型进行统计检验,思考P6： 如何刻画预报变量（体重）的变化？这个变化

7、在多大程度上 与解析变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？,假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所有人的体重将相 同。在体重不受任何变量影响的假设下，设8名女大学生的体重都是她们的平均值， 即8个人的体重都为54.5kg。,在散点图中，所有的点应该落在同一条 水平直线上，但是观测到的数据并非如 此。这就意味着预报变量（体重）的值 受解析变量（身高）或随机误差的影响。,例如，编号为6的女大学生的体重并没有落在水平直线上，她的体重为61kg。解析 变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从54.5kg“推”到了61kg，相差6.5kg， 所以6.5kg是解析变量和随机误差

8、的组合效应。,编号为3的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的体重为50kg。解析 变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从50kg“推”到了54.5kg，相差-4.5kg， 这时解析变量和随机误差的组合效应为-4.5kg。,用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。,在例1中，总偏差平方和为354。,那么，在这个总的效应（总偏差平方和）中，有多少来自于解析变量（身高）？ 有多少来自于随机误差？,假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图 中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归 直线上。这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误

9、差把这些点从回归直线上 “推”开了。,在例1中，残差平方和约为128.361。,例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：,由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而随机误差的效应为 128.361，所以解析变量的效应为,解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和） =解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）,离差平方和的分解 （三个平方和的意义）,总偏差平方和(SST) 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差 回归平方和(SSR) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值

10、变化，也称为可解释的平方和 残差平方和(SSE) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和,样本决定系数 （判定系数 r2 ）,回归平方和占总离差平方和的比例,反映回归直线的拟合程度 取值范围在 0 , 1 之间 r2 1，说明回归方程拟合的越好；r20，说明回归方程拟合的越差 判定系数等于相关系数的平方，即r2(r)2,显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。,在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。,R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的 线性相关性越强）。,如果某组数

11、据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值 来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。,总的来说： 相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。 在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。,从表3-1中可以看出，解析变量对总效应约贡献了64%，即R2 0.64，可以叙述为 “身高解析了64%的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的36%。 所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。,表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关， 是否可以用回归模型来拟合数据。,残差分析与残差

12、图的定义：,然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始 数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本 编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。,残差图的制作及作用。 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域； 对于远离横轴的点，要特别注意。,身高与体重残差图,几点说明： 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果

13、数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,小结,这些问题也使用于其他问题。,涉及到统计的一些思想： 模型适用的总体； 模型的时间性； 样本的取值范围对模型的影响； 模型预报结果的正确理解。,一般地，建立回归模型的基本步骤为：,（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。,（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系 （如是否存在线性关系等）。,（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性

14、回归方程y=bx+a）.,（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。,（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现 不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是 否合适等。,什么是回归分析？ （内容）,从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度,结束,回归分析与相关分析的区别,相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位

15、；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制,（三）回归分析初步应用,问题：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例2）,例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：,（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。 （2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？,方法一：一元函数模型,问题六：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例2）,问题六：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例2）,问题六：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例2）, ,产卵数,气温,变换 y=bx+a 非线性关系 线性关系,对数,问题六：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例2）,方法三：指数函数模型, ,问题六：若两个