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1、#*北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷共页,共分.考试时长分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若集合，或，则A.B.C.D.2.复数在复平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知，且，则下列不等式一定成立的是A.B.C.D.4.在平面直角坐标系中,角以为始边,终边与单位圆交于点，则的值为A.B.C.D.5.设抛物线上一点到轴的距离是则到该
2、抛物线焦点的距离是A.B.C.D.6.故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览。某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有A.种B.种C.种D.种7.设是公差为的等差数列，为其前项和，则“”是“为递增数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.某次数学测试共有道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”，已知这次测试共有个“学习能
3、手”，则难题的个数最多为A.B.C.D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在中,角所对的边分别为，若,则_.10.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为_.11.若满足，则的最大值为_.12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_.13.设平面向量为非零向量，能够说明若“，则”是假命题的一组向量的坐标依次为_.14.单位圆的内接正()边形的面积记为，则_；下面是关于的描述：；的最大值为；.其中正确结论的序号为_（注：请写出所有正确结论的序号）3、 解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明.15. (本题满分13分)已
4、知函数()求的最小正周期;()求在上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）从高一年级随机选取100名学生，对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示.（）从这100名学生中随机选取一人，求该生数学和语文成绩均低于60分的概率;（）从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人，记这两人中数学成绩高于80分的人数为，求的分布列和数学期望;（）试判断这100名学生数学成绩的方差与语文成绩的方差的大小.（只需写出结论）17.（本小题14分）如图1，在边长为2的正方形中，为中点，分别将沿所在直线折叠，使点与点重合于点,如图2. 在三棱锥中，为中点.（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值
5、；（）求二面角的大小.18（本小题13分）已知椭圆的离心率为，且过点（）求椭圆的方程；（）设，是椭圆上不同于点的两点，且直线，的斜率之积等于，试问直线是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由19.（本小题满分14分）已知函数.（）若曲线在处的切线斜率为，求的值;（）若恒成立，求的取值范围（）求证：当时，曲线总在曲线的上方.20.（本小题13分）在个实数组成的行列的表中，表示第行第列的数，记,.若，且两两不等，则称此表为“阶表”，记.（）请写出一个“阶表”；（）对任意一个“阶表”，若整数，且，求证：为偶数；（）求证：不存在“阶表”.北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合
6、练习（一）数学（理科）本试卷共页,共分.考试时长分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.【答案】【解析】由题易知，故选2.【答案】【解析】,所以在复平面上对应的点为，在第二象限,故选3.【答案】【解析】由在上单调递增可知, 故选4.【答案】【解析】由正切函数定义可知: ，故选5.【答案】【解析】在抛物线中, 焦点准线点到轴的距离为即故选6.【答案】C【解析】法一：种法二：种.故选C7.【答案】D【解析】充分条件的反例，
7、当，时，充分不成立.必要条件的反例，例，必要不成立.故选D.8.【答案】D【解析】由题意可知每位“学习能手”最多做错道题，位“学习能手”则最多做错道题.而至少有个“学习能手”做错的题目才能称之为“难题”，所以难题最多道.故选D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.【答案】【解析】,10.【答案】【解析】即求圆心到直线的距离，的圆心为.距离为.11.【答案】【解析】可行域如右图所示：设即，当过时，取最大值，所以.12.【答案】【解析】该几何体如图所示：可知,为等边三角形,所以,所以四边形的面积为,所以.13.【答案】，（答案不唯一）【解析】设，,则
8、，所以但，所以若，则为假命题。14.【答案】；【解析】内接正边形可拆解为个等腰三角形，腰长为单位长度，顶角为.每个三角形的面积为，所以正边形面积为.，正确；正边形面积无法等于圆的面积，所以不对；随着的值增大，正边形面积也越来越大，所以正确；当且仅当时，有，由几何图形可知其他情况下都有，所以正确.4、 解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明.17. 【解析】()由题意得：,()当时，当时,即时,取得最大值.当时,即时,取得最小值.所以在上的最大值和最小值分别是和.18. 【解析】（）由图知有9名学生数学和语文成绩均低于60分,则从100名学生中随机选一人,该生数学和语文成绩
9、均低于60分的概率为.（）由题可知,的可能取值为0,1,2012（）17.【解析】（）由图1知由图2知重合于点.则面面面,又面（）由题知为等边三角形过取 延长作建立如图空间直角坐标系则易知面的法向量为设与平面 夹角为则 直线与平面所成角正弦值为（）由（）知面的法向量为 设面法向量为 易知为中点， 即 令 则则由图知二面角为锐角， 二面角为18【解析】（），过，（）当斜率不存在时，设，则，又在椭圆上，解得，当斜率存在时，设，与椭圆联立，由得，即，设，则，或，当时，恒过不符合，当时，结合，恒过，综上，直线恒过19.【解析】（），由题可得，即，故（）当时，恒成立，符合题意。当时，恒成立，则在上单调递
10、增，当时，不符合题意，舍去；当时，令，解得当变化时，和变化情况如下极小值，由题意可，即，解得。综上所述，的取值范围为（）由题可知要证的图像总在曲线上方，即证恒成立，即要证明恒成立，构造函数，令，故，则在单调递增，则单调递增.因为，由零点存在性定理可知，在存在唯一零点，设该零点为，令，即，且当变化时，和变化情况如下极小值则，因为，所以，所以，当且仅当时取等，因为，故，即恒成立，曲线总在曲线的上方.20.【解析】110-1（）（）若共个数, ，共个数，所以为偶数.（）设整数，且，可取.当时，设.此时，不能同时取到，所以无解.当时, 设,则，由题所以设，当时，.所以无解.时，中至少三组数据分别为，与矛盾，不成立.同理当时,无解，所以不存在“阶表”.
