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1、1 必备六必备六 解题技法增分解题技法增分 技法一 特例法 在解填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、 特殊图形等)来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法由于只需对特殊值、特殊情形进行检验,省去了推理 论证及烦琐演算的过程,提高了解题的速度.特例法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法,应 用得当会有事半功倍的效果. 典型例题 例 1 (1)在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等差数列,则= cosA + cosC 1 + cosAcosC . (2)AD,BE 分别是ABC 的中线,若|=|
2、=1,且与的夹角为 120,则= . ADBEADBEABAC 答案 (1) (2) 4 5 2 3 解析 (1)利用特例法,令 a=3,b=4,c=5,则ABC 为直角三角形,cosA= ,cosC=0,从而所求值为 . 4 5 4 5 (2)易知等边三角形为符合题意的ABC 的一个特例,则|AB|=,=|cos60= . 23 3ABACABAC 2 3 【方法归纳】 当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一 个定值时,可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值进行处理. 跟踪集训 1.求值:cos2a+cos2(a+120)+co
3、s2(a+240)= . 2.已知 m,n 是直线, 是平面,给出下列命题:若 ,则 ;若 n,n,则 ;若 内不共线的三点到 的距离都相等,则 ;若 n,m,且 n,m,则 ; 若 m,n 为异面直线,n,n,m,m,则 .其中正确的命题是 .(把你认为正确的命题 序号都填上) 2 3.如图,点 P 为椭圆 + =1 上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点 A、上顶点 B 分别作 y 轴、x 轴的平行 x2 25 y2 9 线,它们相交于点 C,过点 P 引 BC,AC 的平行线,分别交 AC 于点 N,交 BC 于点 M,交 AB 于 D、E 两点,记矩形 PMCN 的面积为 S1,三角形
4、 PDE 的面积为 S2,则 S1S2= . 技法二 图解法 典型例题 例 2 (1)直线 y=x+m 与曲线 x=有且仅有一个公共点,则 m 的取值范围是 . 1 - y2 (2)已知函数 f(x)=(a0,且 a1)在 R 上单调递减,且关于 x 的方程 x2+ (4a - 3)x + 3a,x 0, ? 个不同的解,则实数 k 的取值范围为 . 技法三 等价转化法 通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题,从而得到正确的结果. 典型例题 例 3 对任意的|m|2,函数 f(x)=mx2-2x+1-m 恒负,则 x 的取值范围为 . 答案 ( 7 - 1 2 , 3
5、 + 1 2) 4 解析 对任意的|m|2,有 mx2-2x+1-m 0, 2x2- 2x - 1 0).设 G(x)=f(x)+2-g(x)有两个零点 x1,x2,且 x1,x0,x2成等差 数列,试探究 G(x0)的符号. 解析 因为 G(x)=x2+2-alnx-bx 有两个零点 x1,x2, 所以 x2 1 + 2 - alnx1- bx1= 0, x2 2 + 2 - alnx2- bx2= 0, ? 两式相减得-a(lnx2-lnx1)-b(x2-x1)=0, x2 2 x2 1 即 x2+x1-b=, a(lnx2- lnx1) x2- x1 于是 G(x0)=2x0- -b=(
6、x1+x2-b)- a x0 2a x1+ x2 =-= a(lnx2- lnx1) x2- x1 2a x1+ x2 a x2- x1ln x2 x1 - 2(x2- x1) x1+ x2 =. a x2- x1ln x2 x1 - 2( x2 x1 - 1) 1 + x2 x1 7 当 01, x2 x1 且 G(x0)=. a x2- x1lnt - 2(t - 1) 1 + t 设 u(t)=lnt-(t1), 2(t - 1) 1 + t 则 u(t)= -=0, 1 t 4 (1 + t)2 (1 - t)2 t(1 + t)2 则 u(t)=lnt-在(1,+)上为增函数, 2(
7、t - 1) 1 + t 而 u(1)=0,所以 u(t)0,即 lnt-0. 2(t - 1) 1 + t 又因为 a0,x2-x10,所以 G(x0)0. 当 00. 综上所述,G(x0)的符号为正. 【方法归纳】 本题涉及两个变量 x1,x2,在解题时利用换元法简化过程,然后构造函数,再利用导数法,结合函数单调性 进行符号的判断.本题把式子 看成一个整体,用变量 t 去代替它,从而达到化二元为一元的目的,同时使本来 x2 x1 零乱、分散的问题得到简化.这种技巧在解题时非常重要,需要灵活运用. 跟踪集训 11.若 f(lnx)=3x+4,则 f(x)的表达式为 . 12.已知函数 f(x
8、)=4x,g(x)=2x,则方程 f(x)+f(-x)-2g(x)-2g(-x)= 的解为 . 22 9 13.y=sinxcosx+sinx+cosx 的最大值是 . 技法六 构造法 用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是建立在 观察联想、分析综合的基础上的,首先应观察题目,观察已知条件形式上的特点,然后联想、类比已学过的知 8 识及各种数学结构、数学模型,深刻了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),通过构造几何、函数、向 量等具体的数学模型快速解题. 典型例题 例 6 在四面体 ABCD 中,若 AB=CD=,AC=BD=5,AD=BC=
9、2,则该四面体的体积 V= . 135 答案 8 解析 构造如图所示的长方体,并且满足 AB=CD=,AC=BD=5,AD=BC=2. 135 设 AP=p,AQ=q,AR=r, 则 p2+q2=AB2=13,r2+p2=AD2=20,q2+r2=AC2=25. 由上述三式得 p2+q2+r2=29,于是 r=4,q=3,p=2. 故 V=V长方体-4VC-AQB=234-4 4 23=8. 1 3 1 2 【方法归纳】 构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用,需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向. 一般通过构造新的函数、不等式或数列等模型将问题转化为熟悉的问题.在立体几何中,补
10、形构造是最常用的 解题技巧.通过补形可以将一般几何体的有关问题放在特殊的几何体中求解,如将三棱锥补成长方体等. 跟踪集训 14.设函数 f(x)=lnx+ ,mR,若对任意 ba0,0,则实数 p 的取值范围是 . 答案 ( - 3, 3 2) 解析 若 f(x)在-1,1上不存在使 f(c)0 的数 c,则 f(x)在-1,1内小于等于 0,又 =36p20,故 f(- 1)0 且 f(1)0,因此若要满足题意,则只需 f(-1)0 或 f(1)0 即可,由 f(1)0,得 2p2+3p-90,得 2p2-p-10,这个问题似乎无从下手,困 难较大.若用逆向思维利用补集思想求解,则很直观简捷
11、.跟踪集训 16.已知集合 A=x|x2-4mx+2m+6=0,B=x|x成立, ex(3x - 2) x - 2 因为 F=9 最小,且 F(3)=7e3,F(4)=5e4,所以当 a5e4时,至少有两个整数成立, ( 8 3)e 8 3 12 所以当 a7e3时,没有整数成立,所以 a(7e3,5e4, 综上,a(7e3,5e4. 5 3e,1) 【方法归纳】 对于求不等式成立时参数范围的问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的不等 式,另一端是一个区间上的具体的函数.但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数后,得出的函数解析式 较为复杂,性质很难研究,那么就不要使用
12、分离参数法. 跟踪集训 17.若不等式 2xlnx-x2+ax-3 恒成立,则实数 a 的取值范围为 . 18.已知函数 f(x)= x3-x2-3x+ ,直线 l:9x+2y+c=0,当 x-2,2时,函数 f(x)的图象恒在直线 l 下方,则 c 的 1 3 4 3 取值范围是 . 技法九 整体代换法 整体代换法是根据式子的结构特征,在求值过程中,直接将多个数之和的表达式或多项式当成一个整体来 处理,从而建立已知和所求之间的关系或方程进行求解的方法.利用该种方法求值,可以避免烦琐的计算.该方 法适用于等差、等比数列中连续几项和的有关计算. 典型例题 例 9 在等比数列an中,公比 q=2,
13、前 87 项和 S87=140,则 a3+a6+a9+a87= . 答案 80 解析 设 b1=a1+a4+a7+a85,b2=a2+a5+a8+a86,b3=a3+a6+a9+a87, 因为 b1q=b2,b2q=b3,且 b1+b2+b3=140, 所以 b1(1+q+q2)=140,而 1+q+q2=7, 所以 b1=20,则 b3=q2b1=420=80. 【方法归纳】 13 整体代换法求值的关键是准确把握代数式的结构特征,确定已知和所求之间的关系. 跟踪集训 19.设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a2a4a6a8=120,且+= ,则 S9的值为 . 1 a4a6a8 1
14、a2a6a8 1 a2a4a8 1 a2a4a6 7 60 20.在正项等比数列an中,a4+a3-2a2-2a1=6,则 a5+a6的最小值为 . 技法十 判别式法 判别式法就是利用一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有解的充要条件(判别式 =b2-4ac0)求解. 典型例题 例 10 已知 , 为任意三角形的三个内角,求证: x2+y2+z22xycos+2yzcos+2zxcos. 证明 设 f(x)=x2+y2+z2-(2xycos+2yzcos+2zxcos) =x2-2(ycos+zcos)x+y2+z2-2yzcos, 又 =4(ycos+zcos)2-4(y2+z2-2y
15、zcos) =-4(ysin-zsin)20, 所以 f(x)0,即 x2+y2+z22xycos+2yzcos+2zxcos. 【方法归纳】 判别式是方程、函数和不等式之间联系的重要工具,是不等式之间相互转化的重要桥梁,运用判别式法证 明不等式有两种途径:(1)构造一元二次方程,然后利用 0 来证明;(2)构造恒大于(或小于)零的一元二次 函数,然后利用 0 来证明. 跟踪集训 21.函数 y=的值域为 . 2x2+ 4x - 7 x2+ 2x + 3 22.设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6+15=0,则 d 的取值范围是 . 14 23.给定两个长度为 1 的平面向量和,它们的夹角为 120.如图所示,点 C 在以 O 为圆心的 上运动,若 OAOB AB =x+y,其中 x,yR,则 x+y 的最大值是 . OCOAOB 技法十一 归纳法 归纳法的过程可概括为 从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出结论 发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明. 典型例题 例 11 (2018 江苏沭阳调研)观察下列式子:1+ 0 时,|lnx|=kx+2k=- = |lnx| x 2 x - lnx - 2 x ,0 b0), x2 a2 y2 b2 =(-2,b),=(
