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1、1 必备一必备一 主干知识回扣主干知识回扣 技法一 函数性质 1.函数的单调性 (1)定义:一般地,设函数 f(x)的定义域为 A,如果对于属于定义域 A 内某个区间 I 上的任意两个自变量的 值 x1,x2,当 x1f(x2),那么就说 f(x)在这个区间 I 上是增(减)函数. (2)证明方法:定义法、导数法. 2.函数的奇偶性 (1)定义:对于函数 f(x),如果对于定义域内任意一个 x 都有 f(-x)=-f(x),那么 f(x)就叫做奇函数;如果 对于定义域内任意一个 x 都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数.如果函数 f(x)是奇函数或偶函数,那么 就说函数 f(
2、x)具有奇偶性. (2)图象特征:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称. 3.函数零点 (1)对于函数 y=f(x),xD,我们把使函数 y=f(x)的值为 0 的实数 x(xD)称为函数 y=f(x)的零点,实质 上函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的根,它是实数而不是点. 函数 y=f(x)-g(x)的零点可以看成是方程 f(x)-g(x)=0 的根或函数 y=f(x)的图象与函数 y=g(x)的图象 的交点的横坐标. (2)零点存在性定理:一般地,若函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线,且 f(a)f(b)0 且 a1);(ex)=ex
3、;(logax)=(a0 且 a1);(lnx) 1 xlna = ;(sinx)=cosx;(cosx)=-sinx. 1 x 3.导数的运算法则:f(x)g(x)=f(x)g(x); f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x); =(g(x)0). f(x) g(x) f (x)g(x) - f(x)g(x) g(x)2 4.导数与函数的单调性:f(x)0函数 f(x)在相应区间上为单调增函数; f(x)f(x0),则称 f(x0)为函数 f(x)的一个极大(或小)值,其中 x0称为极值点,f(x0)称为极值, 所以极值点是实数而不是点. (2)函数在闭区间上的最值在极值点处或区
4、间端点处取得. 技法三 基本初等函数 1.指数的概念及运算性质:(1)()n=a(nN*);当 n 为奇数时,=a;当 n 为偶数时,=|a|;(2)正数 n a n an n an 的分数指数幂的意义: =;= =(a0,m、nN*,且 n1). a m n n ama - m n 1 a m n 1 n am 2.对数的概念及运算性质:(1)ab=NlogaN=b(a0 且 a1); (2)对数的运算法则:loga(MN)=logaM+logaN;loga=logaM-logaN;logaMn=nlogaM(a0 且 a1); M N (3)换底公式:logaN=(a0 且 a1,b0 且
5、 b1). logbN logba 3.指数函数的定义:一般地,函数 y=ax(a0,且 a1)叫做指数函数; 对数函数的定义:一般地,函数 y=logax(a0,且 a1)叫做对数函数; 3 幂函数的定义:一般地,形如 y=xa的函数叫做幂函数. 4.指数函数、对数函数的图象和性质: 指数函数对数函数 0101 图象 共同 性质 定义域:R;值域:(0,+); 图象过定点(0,1) 定义域:(0,+);值域:R; 图象过定点(1,0) 不同 性质 在(-,+)上是 单调增函数 在(-,+)上是单 调减函数 在(0,+)上是减函 数 在(0,+)上是增函数 技法四 三角函数 1.任意角的三角函
6、数的定义:sin= ,cos= ,tan= . y r x r y x 2.同角三角函数的关系式(同角公式):平方关系:sin2+cos2=1,商数关系:tan=. sin cos 3.诱导公式:k (kZ)与 的三角函数值之间的等量关系式,记忆口诀是奇变偶不变,符号看象 2 限. 4.三角函数的图象和性质: 三角 函数 y=sinxy=cosxy=tanx 图象 4 定义域 RR x xR, x +k,kZ 2 值域 -1,1-1,1R 奇偶性奇函数偶函数奇函数 对称 中心 (k,0),kZ ,kZ (k + 2,0),kZ ( k 2 ,0) 对称轴 x=k+ ,kZ 2 x=k,kZ 没
7、有对称轴 周期性 22 单调 增区间 2k- , 2 2k+,kZ 2 2k-,2k,kZ k- , 2 k+,kZ 2 单调 减区间 2k+ , 2 2k+,kZ 3 2 2k,2k+,kZ 无 特别关注:(1)三角函数与其他函数构成的复合函数的单调性,要注意函数的定义域. (2)三角函数的值域与最值的常见题型:一是可以利用三角公式化为标准型 y=Asin(x+)(A0,0); 二是转化为基本函数型,如:y=cos2x-sinx+1,y=sin2x+sinx+cosx 均可以通过换元转化为二次函数;三是利用 导数法. (3)三角函数的周期:y=Asin(x+)和 y=Acos(x+)(A0,
8、0)都可以利用周期公式 T=求解; 2 y=Atan(x+)(A0,0)利用周期公式 T= 求解. y=|Asin(x+)|(A0,0)、y=|Acos(x+)|(A0,0)和 y=|Atan(x+)|(A0,0)的周期 都是 T= ; 5 y=|Asin(x+)+b|(A0,0,b0)的周期公式是 T=. 2 (4)奇偶性:y=Asin(x+)(A0,0)是奇函数=k,kZ,是偶函数=k+ ,kZ. 2 y=Asin(x+)(A0,0)是奇函数=k+ ,kZ,是偶函数=k,kZ. 2 (5)对称性:求对称轴、对称中心;已知对称轴或对称中心,求参数的取值(用特值法). 5.三角恒等变换: (1
9、)两角和与差的三角函数:sin()=sincoscossin; cos()=coscossinsin; tan()=. tan tan 1 tantan (2)二倍角公式:sin2=2sincos;cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2;tan2=. 2tan 1 - tan2 (3)降幂公式:sin2=;cos2=. 1 - cos2 2 1 + cos2 2 6.解三角形: (1)正弦定理:=2R; a sinA b sinB c sinC SABC= absinC= bcsinA= casinB. 1 2 1 2 1 2 (2)余弦定理:cosA=,cosB=,co
10、sC=,a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2- b2+ c2- a2 2bc a2+ c2- b2 2ac a2+ b2- c2 2ab 2accosB,c2=a2+b2-2abcosC. 技法五 平面向量 1.平面向量共线定理:(1)向量 b 与非零向量 a 共线存在唯一的实数 ,使得 b=a. (2)平面向量共线定理的坐标表示:若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 abx1y2-x2y1=0. 2.平面向量基本定理:若 e1、e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任一向量 a,有且只有 一对实数 1,2,使得 a=1e1+2e2,其中 e1、e2称为基底.
11、 6 3.两个向量的数量积:(1)向量的夹角:已知两个非零向量 a 与 b,作=a,=b,则AOB 叫做向量 a 与 b OAOB 的夹角.注意:夹角的范围是0,;作图时两向量一定要共起点. (2)已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 ,则 ab=|a|b|cos. 注意:数量积运算的结果是数量,而线性运算的结果仍然是向量. 技法六 数列 1.等差数列与等比数列: 等差数列等比数列 定义an+1-an=d(nN*,d 为常数) =q(nN*,q 为常数) an + 1 an 通项公式 an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d(m,nN*, 且 nm) an=a1qn-1=amqn-m
12、(m,nN*,且 nm) 前 n 项和公式 Sn= n(a1+ an) 2 =na1+d n(n - 1) 2 Sn= na1,q = 1 a1(1 - qn) 1 - q = a1- anq 1 - q ,q 1 ? 若 m+n=p+q,m,n, p,qN*,则 am+an=ap+aqaman=apaq 常 用 性 质 Sk,S2k-Sk,S3k- S2k,(kN*) 是公差为 k2d 的等差数列是公比为 qk的等比数列(Sk0) 证明an成等差(比) 数列的方法 定义法和等差中项法定义法和等比中项法 2.已知数列的递推公式,求通项公式的常用方法:累加法、累乘法、构造新数列法、取倒数法. 3
13、.常见复杂数列求和的基本数学思想:转化与化归思想,即把复杂数列求和问题等价转化为基本数列求和.常 用方法:(1)并项求和法(正负相间的项的求和);(2)裂项相消法;(3)错位相减法;(4)分组求和法.求和时先分 析通项,再选择求和方法. 7 技法七 不等式 1.不等式的重要性质:若 a0,则 ,即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要 1 a 1 b 改变;如果不等式两边同时乘(或除以)一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论. 2.基本不等式:(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 即若 a,b0,则(当且仅当 a=b 时,取等号). a + b 2
14、ab 基本变形:a+b2;ab; ab( a + b 2) 2 若 a,bR,则 a2+b22ab,. a2+ b2 2 ( a + b 2) 2 (2)基本应用:求函数最值 注意:一正二定三相等;积定和最小,和定积最大. 已知 a,b 为正数.当 ab=p(常数)时,a+b2,当且仅当 a=b=时,a+b 取得最小值 2; ppp 当 a+b=s(常数)时,ab ,当且仅当 a=b= 时,ab 取得最大值 . s2 4 s 2 s2 4 技法八 直线与圆 1.几个距离公式:(1)两点间距离公式:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB=; (x1- x2)2+ (y1- y2)2 (
15、2)点(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离公式:d=; |Ax0+ By0+ C| A2+ B2 (3)两条平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间距离公式:d=. |C1- C2| A2+ B2 2.(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2;(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),把一般方程配 方得+=(D2+E2-4F0). (x + D 2) 2 (y + E 2) 2 D2+ E2- 4F 4 (2)判断直线与圆的位置关系的方法:利用圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小,若 dr,则相离;若 d=r,则相切;若 dr1+r2; C1与C2相外切d=r1+r2;C1与C2相交|r1-r2|F1F2|). (2)第二定义:平面内动点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e(0b0) x2 a2 y2 b2+ =1(ab0) y2 a2 x2 b2 图形 范围 x-a,a,y-b,bx-b,b,y-a,a 对称性关于坐标轴对称、关于坐标原点对称 顶点、 长轴长、
