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1、专题数列通项公式的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例1等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式解：设数列公差为成等比数列，即，得，由得：，点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。二、累加法求形如an-an-1=f(n)（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，n1得到n1个式子累加求得通项。例2已知数列an中，a1=1，对任意自然数n都有，求解：由已知得，以上式子累加，利用得-=，点评：累加法是反复利用递推关系得到n
2、1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求f(n)的前n1项的和，要注意求和的技巧三、迭代法求形如(其中为常数) 的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。例3已知数列an满足a1=1，且an+1 =+1，求解：an=3an-1+1=3(3an-2+1)+1=32an-2+31+1=3n-1a1+3n-21+3n-31+31+1=点评：因为运用迭代法解题时，一般数据繁多，迭代时要小心计算，应避免计算错误，导致走进死胡同四、公式法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。例4已知数列的前项和满足求数列的通项公式；解：由当时，有，经验证也满足上式，所以点评：利用公式求解时，要注意对n分类
3、讨论，但若能合写时一定要合并五、累乘法对形如的数列的通项，可用累乘法，即令n=2，3，n1得到n1个式子累乘求得通项。例5已知数列中，前项和与的关系是，求通项公式解：由得两式相减得：，将上面n1个等式相乘得：点评：累乘法是反复利用递推关系得到n1个式子累乘求出通项，这种方法最终转化为求f(n)的前n1项的积，要注意求积的技巧六、分n奇偶讨论法在有些数列问题中，有时要对n的奇偶性进行分类讨论以方便问题的处理。例6已知数列an中，a1=1且anan+1=2，求通项公式解：由anan+1=2及an+1an+2=2，两式相除，得=，则a1,a3,a5,a2n-1，和a2,a4,a6,a2n，都是公比为
4、的等比数列，又a1=1,a2=，则：（1）当n为奇数时，；（2）当n为偶数时，综合得点评：对n的奇偶性进行分类讨论的另一种情形是题目中含有时，分n为奇偶即可自然引出讨论分类讨论相当于增加条件,变不定为确定注意最后能合写时一定要合并。这是近年高考的新热点，如05年高考江西卷文科第21题七、化归法想方设法将非常规问题化为我们熟悉的数列问题来求通项公式的方法即为化归法同时，这也是我们在解决任何数学问题所必须具备的一种思想。例7已知数列满足求an解：当两边同除以，即成立，首项为5，公差为4的等差数列点评：本题借助为等差数列得到了的通项公式，是典型的化归法常用的化归还有取对数化归，待定系数化归等，一般化
5、归为等比数列或等差数列的问题，是高考中的常见方法八、“归纳猜想证明”法直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳猜想证明”法例8若数列满足：计算a2，a3，a4的值，由此归纳出an的公式，并证明你的结论解：a2=2 a1+32=21+32，a3=2（21+32）+321=221+2321，a4=2（221+2321）+322=231+3322；猜想an=2n1+（n1）32n2=2n2（3n1）；用数学归纳法证明：1当n=1时，a1=21=1，结论正确；2假设n=k时，ak=2k2（3k1）正确，当n=k+1时，=结论正确；由1、2知对n
6、N*有点评：利用“归纳猜想证明”法时要小心猜测，切莫猜错，否则前功尽弃；用数学归纳法证明时要注意格式完整，一定要使用归纳假设九、待定系数法（构造法）求递推式如（p、q为常数）的数列通项，可用待定系数法转化为我们熟知的数列求解，相当如换元法。例9已知数列an满足a1=1，且an+1 =+2，求解：设，则，为等比数列，点评：求递推式形如（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列an+1+=p(an+)来求得,也可用“归纳猜想证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型例10已知数列满足求an解：将两边同除，得，变形为设，则令，得条件可化成，数列为首项，为公差的等比数列因，所以=
7、得=点评：递推式为（p、q为常数）时，可同除，得，令从而化归为（p、q为常数）型例11已知数列满足求an解：设通展开后，得由，解得，条件可以化为得数列为首项，为公差的等比数列，问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得点评：递推式为（p、q为常数）时，可以设，其待定常数s、t由求出，从而化归为上述已知题型三、课堂练习1设an的首项为1的正项数列，且求它的通项公式。解：由题意a1=1 , an0,(n=1,2,3,.) ，。2学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有两种菜谱可供选择（每人选一种），调查表明：凡是在星期一选A菜谱的，下星期一会有20%改选B，而选B的，下星期一则有30%改选
8、A，若用分别表示在第n个星期一选A、B的人数。（1）试用表示； （2）证明：。解:(1) ；(2)，。四、备选习题1数列an满足a1=1/2,a1+a2+an=n2an,求an解：a1+a2+an=n2an，a1+a2+an1=an1 an/an1=(n1)/(n+1)，取n=2,3,4,n代入上式，各式相乘得：an/a1=2数列an的前n项之和Sn和第n项an之间满足2lg=lgSn+lg(1an),求an和Sn解：原式可以变为(Snan+1)2=4Sn(1an)a1=1/2,可以变为(Sn1+1)2=4Sn(1+Sn1Sn)(Sn1+1)24Sn(Sn1+1)+4Sn2=(Sn1+12Sn
9、)2=0Sn1+1=2SnSn=Sn1/2+1/2, 如果有常数x，使得Sn+x=(Sn1+x)/2,比较原式可得：x/2=1/2x=1, Sn1=(Sn11)/2Sn=(S11) =,从而an=SnSn1=,方法二：直接由原式移项配方可得：Sn(1an)2=0Sn=1an, Sn1=1an1两式相减得：an=SnSn1=an1an(适合n=1)an=an1/2,an为等比数列，an=。3设数列an为正项数列,若对任意正整数n, an与2得 等差中项等于其前n项和Sn与2的等比中项, 求an的通项公式。解:，4根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式：（1）； （2）；（3）解：（1），
10、；（2）， =方法二：由题意，对一切自然数成立，（3）是首项为，公比为的等比数列，5已知数列an满足a1=1,（1）求a2,a3 ,a4 ； (2) 证明：。解：（1）a24，a313 ，a4=40。（2）a1 ,a2,a3 ,a4由前可知成立。假设n=k时也成立，即，n=k+1时,也成立，综上，。6已知数列的前项和为不等于的常数)，求数列的通项公式。解：由可得当时， ，是公比为的等比数列又当时，7设数列an的首项为1，前n项和为Sn，满足关系（1）求证：数列an是等比数列；（2）设数列an的公比为f(t)，作数列bn,使b1=1,bn= (n=2,3,4,.) 求bn的通项公式。解：(1)由
11、，又， 得证。(2)，。8一楼至2楼共n级台阶，上楼梯可以一步上一级台阶，也可以一步上两级台阶，问从一楼上到2楼共有多少种不同的走法？解：设从一楼到第k级台阶共有ak种走法，则有关系式：a1=1,a2=2, ak+2=ak+1+ak,（这是一个Fibonacci数列）假设存在两个常数p,q，使得ak+2+pak+1=q(ak+1+pak)，设bk=ak+1+pak, 便有bk=b1qk1, 即 ak+1+pak=(a2+pa1)qk1，用方程思想，假设有这样的p,q，则有：，解得：p=,q=,或p=,q=，将上述两组数据分别代入ak+1+pak=(a2+pa1)qk1式，可得：上述两式子相减得
12、：9（1）已知数列中，前项和与的关系是 ，试求通项公式。（2）已知数列中，求通项公式解：（1）首先由易求的递推公式：，将上面n1个等式相乘得：（2）倒数化归得：，10数列记 （）求b1、b2、b3、b4的值； （）求数列的通项公式及数列的前n项和解：（I）（II），,故猜想因，（否则将代入递推公式会导致矛盾）.故的等比数列. ,，解法二：整理得（）由所以解法三： 从而11若数列的前n项和Sn满足：，。 （1）求的通项公式； （2）求的通项公式； （3）求的前n项和Bn.解：（1）当n=1时，当，是以2为公比，4为首项的等比数列，。（2），是以1为首项，1为公差的等差数列，。（3），两式相减得：
13、。，即的前n项和为：。12已知定义在（1，1）上的函数时，有 （I）判断的奇偶性，并证明之； （II）令的通项公式； （III）设Tn为数列的前n项和，问是否存在正整数m，使得对任意的成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，则说明理由.解：（I）令。又当时，。对任意。为奇函数。（II）。在（1，1）上是奇函数，。为首项，以2为公比的等比数列。 （III） 假设存在正整数m，使得对任意的，有.即.只需故存在正整数m，使得成立.此时m的最小值为10.13已知数列 （1）求数列的通项公式； （2）设，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切都有成立？说明你的理由； （3）求证：解：（1）由已知；则数列是公比为2的等比数列.又。 （2）。，恒成立，则。故存在常数A，B，C，满足条件. （3）由（2）知：。五、教学小结14
