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1、 导数以及应用全面解读大纲分析导数是高中数学知识的重要组成部分，是高中数学与大学数学最重要的一个衔接点，在近三年高考中，导数作为必考内容出现在各地高考试卷中。1、了解导数概念的某些实际背景，理解导数函数的概念，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义。2、熟记基本导数公式的导数）。掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。了解函数的单调性的概念，掌握一些简单函数的单调性的判断方法。3、了解可导函数的单调性与其导数间的关系，可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单调函数）的最大值和最小值。高考导
2、数重点考查的知识有：1、客观题主要考查导数的概念、性质、几何意义、物理意义、导数简单应用等基础知识。2、解答题主要考查导数与函数的单调性质、极值性质和导数之间的关系以及工具在代数、三角、几何与数学建模等综合问题中的应用。复习时，一定夯实基础知识，准确理解导数定义、性质、几何意义、物理意义，牢固掌握两个函数和、差、积、商和复合函数的求得法则；二会运用导数知识解决函数单调性、极值和数学建模等问题；三能构造函数，运用导数和函数的单调性质，解决代数式大小比较、不等式证明、参数取值范围、最值、恒成立等问题。考点例析：考点一：考查导数的几何意义导数几何意义是函数在x处的导数,就是曲线在点处切线的斜率。其中
3、点必须在函数上，当点不在曲线上，要设出切点，再用导数几何意义解决。例1已知函数处取得极值。（1）讨论和是函数的极大值还是极小值 (2)过点A(0,16)作曲线的切线，求此切线方程考查点：本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力。解析：（1）解若若是极小值（2）解：曲线方程为点A（0，16）不在曲线上设切点为M(，则点M的坐标满足因故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有化简得切线方程为评注: 已知曲线上的某点去切点的切线问题，对于此类问题要准确理解在已知曲线上某点处的切线的两层含义：一是该点的导数值等于切线的斜率；二是该点坐标
4、满足已知曲线的方程。2、当已知的某点不在曲线上，求过此点的切线问题，此类问题求解时，要先设出切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，再把已知点代入切线方程，从而得出所求的方程。3、利用导数的几何意义，证明不等式或求参数范围问题，由导数的几何意义可知，函数yf（x）的图象上任意两点，连线的斜率的取值范围，就是曲线上任一点的切线斜率（如果有的话）的范围，利用这一结论，就可进行不等式证明或求参数范围。追踪练习：1、求抛物线过点P（，6）的切线方程。练后反思：由于点在于点（，6）不在曲线上，因此可以在任取一点Q，通过建立等量关系。此类题目应先分析切线过的点，是否在曲线上，如果在曲线上，直接用公式y
5、K（x），否则，先求出曲线上切点的坐标，然后再利用上述公式求得。y4x6，y6x9此即所求的切线方程。2、已知直线xy10与抛物线y相切，则的值为_。 练后反思：根据导数的几何意义，设出切点坐标，则在切点处的导数等于直线的斜率，又切点在直线和抛物线上，联立方程即求出。3、曲线y和yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是_。练后反思：由题意知，只要求出两曲线的交点坐标及切线方程，再结合三角形的面积公式就能求出。两条切线方程为：yx2和y2x1，所围成的图象是三角形，所以S=。考点二：研究函数的单调区间问题 函数的单调区间的考查主要集中在两种题型上：函数单调区间的求解以及由函数在某个区
6、间的增减性求函数中相应参数的取值范围。函数单调区间在求取时，一定要注意函数导数计算的准确性，二要注意函数定义域的求解。应用导数研究函数单调性的基本方法，往往涉及分类讨论思想、数形结合思想等，考查综合有数学知识解决问题的能力。因此，在复习应用导数求函数单调性的相关问题时，要注意加强对前面章节知识的复习和巩固，强化小综合的应用问题，拓展解决问题的思路。例2设函数，其中 求f（x）的单调区间。解：由已知得函数f（x）的定义域为，且（1）当时，函数f（x）在上单调递减。（2）当时，由，解得当时，函数f（x）在上单调递减。当时，函数f（x）在上单调递增。综上所述：当时，f（x）在上单调递减；当时，函数f
7、（x）在上单调递减，在上单调递增。点评：在求解含参数的函数的单调区间时，要注意对参数进行讨论。 例3、已知函数，若f（x）的单调减区间恰为（0，4），f（x）在点P（b，f（b）处的切线的方向向量为a（1，12），求k、b的值。解：因为f（x）的单调减区间恰为（0，4），所以的解集为，所以0、4是方程的两根，所以，所以k1，又因为点P处的切线的方向向量为a（1，12），所以点P处切线的斜率，所以，即，所以b2，所以k1，b2.点评：该题中函数f（x）的单调递减区间恰为（0，4）的解集为. 若改为函数f（x）在区间（0，4）上单调递减，则说明（0，4）是单调减区间的子集，故应转化为在（0，4）上
8、恒成立，解题时要注意这两种不同的说法有不同的含义，不要混淆。追踪练习：1若对于可导函数f（x）、g（x），当x时恒有，若已知是一锐角三角函数的两个内角，且，记F(x)，则下列不等式正确的是（ ）A、 B、 C、 D、练后反思：本题已知导函数满足的特点，可以推出原函数的单调性，再结合三角函数的性质求解。答案为C。2、已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：（I）的值（II）a，b，c的值练后反思：函数的增减性可由导数的值符号反映出来，由导函数的图象可以大略知道函数的图象，利用图象把导函数与函数紧密结合起来考查，求得1；a2，b9，c12. 考点三、应
9、用导数解决优化问题 导数的引入开辟了求解最值问题的新途径，用其解优化问题思路是：用函数表示数学问题，即建立目标函数，然后用导数知识解决问题。主要考查数学建模能力以及用导数解决具体问题的能力。例4、甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管总费用最省？分析：本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助
10、图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变量，构造相应的函数关系。解：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当的位置，才能使总费用最省，设C点距D点xkm，因为BD40，AC50x，所以，又设总的水管费用为y元，依题意有：，令，解得x30.在（0，50）上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x30（km）处取得最小值，此时AC50x20（km）所以供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管总费用最省。点评：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选
11、择合适的数学方法求解（尤其要注意使用导数解决最优化的问题）.追踪练习：用总长m的钢条制做一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.练后反思：设容器底面边长为m，另一边长为m，高为，且注意和.列出容积的目标函数，把问题转化为求函数的最值问题。求得当时，(m3). 考点四：导数、函数、不等式的交汇 以函数为载体，以导数为工具，函数、不等式等的交汇成为考查的热点，考查导数的单调性、极值性质和不等式性质的综合应用是近几年高考的热点，应引起大家的关注。 例5已知函数在处取得极值，其中为常数（）试确定的值；（）讨论函数的单调区间；（）若
12、对任意，不等式恒成立，求的取值范围 解：（I）由题意知，因此，从而又对求导得，由题意，因此，解得（II）由（I）知（），令，解得当时，此时为减函数；当时，此时为增函数因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需即，从而，解得或所以的取值范围为点评：此题考查导数在函数单调、最值及恒成立问题上的综合应用。设函数f（x）在某区间内可导，若，在f（x）在该区间为增函数；若，侧f（x）为减函数；函数f（x）在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零或不存在，且该点两侧的导数异号；函数f（x）在点处的导数是曲线yf（x）在点处切线的
13、斜率。这是导数的主干内容，高考常结合单调区间、单调函数、函数最值、切线及其夹角等对其进行全面考查。求解恒成立问题的依据是：恒成立；恒成立，即在上，恒成立等价于f（x）的最小值不小于 因此，只要求出f（x）在上最小值即可用不等式的传递性质获解。 例6、已知函数，其中，为参数，且（1） 当时，判断函数f（x）是否有极值；（2） 要使函数f（x）的极小值大于零，求参数的取值范围；（3） 若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数f（x）在区间（2a1，2a）内都是增函数，求实数a的取值范围。解：（1）时，则函数f（x）在上是增函数，故无极值。（2），令，得，由及（1），只考虑的情况。当x变化时，的
14、符号及f（x）的变化情况如下表：x0（0，）（，00f（x）极大值极小值因此，函数f（x）在x处取得极小值f（），且要使，必有，可得所以， （3）由（2）知，函数f（x）在区间与（，内都是增函数。由题设，函数f（x）在（2a1，2a）内是增函数，则a需满足不等式组或 由（2），参数时，要使不等式关于参数恒成立，必有综上，解得或 所以a的取值范围是 点评：本题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值，解不等式基本知识，考查综合分析和解决问题的能力。追踪练习：已知函数，对于f（x）定义域内任意的x，恒成立，求a的取值范围。练后反思：通过分离常数，构造函数，得，设，即转化为求函数h（x）的最值问题。得考点五：在求函数最值、极值中的应用借助于导数研究函数的极值、最值简捷明快，充分体现了利用导数解题的优越性，是高考考查的一个重要方面，在复习时要注意取得极值的条件和求最值的方法。最值是指函数及表达式在自变量指定范围内或隐含定义域内的最大值和最小值，这里最大值和最小值都最多只有一个；极值通常是指连续函数在定义域或特定局部范围内的较（极）大值和较（极）小值，这里极大值和极小值都可能不止一个。 例7、已知函数在上的最小值为17，则m的值为_。解析：因为，令，得，所以f（x）在上为减函数，在-2,1上为增函数，所以f（2）为极小值，又因为，但在m,1上，因为所以，
