河北省2019届高三下学期冲刺（一）数学（理）试题（精品解析）

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1、唐山一中唐山一中 2019 届高三冲刺卷（一）届高三冲刺卷（一）高三数学理科试卷高三数学理科试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. . 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求解一元二次不等式化简集合A，求值域化简集合B，然后直接利用交集运算得答案 【详解】， 故选：D 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法及函数的值域问题，是基础题 2.已知，则在，中最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用指数函数和幂函数的单调

2、性，可以比较四个数的大小，进而得到在，的最大值 【详解】， y和y均为减函数， ， 又y在（0，+）为增函数， ， 即在，中最大值是， 故选：C 【点睛】本题考查的知识点是指数函数的单调性和幂函数的单调性的应用，属于基础题 3.设复数，则的二项展开式的第 7 项是（ ） A. 84B. C. 36D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，bR R）的形式，复数化简为 2i，然后求 出z代入，利用二项式定理求出展开式的第 7 项 【详解】， 所以（1+z）9（1+i）9 展开式的第 7 项是：C9613i684 故选 A. 【点睛】本题考查复数的基

3、本概念，二项式定理，考查计算能力，是基础题 4.设 为区间内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的 值落在区间内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意知函数y是分段函数，写出函数解析式，计算y ，3时x的取值范围，利用几何概型求对应 的概率 【详解】根据题意知，当x2，0时，y2x ，1； 当x（0，2时，y2x+1（1，5； 所以当y ，3时，x1，1，其区间长度为 2， 所求的概率为P 故选：C 【点睛】本题考查了程序语言应用问题，也考查了函数与几何概型的概率计算问题，是中档题 5.在正项等比数列中，若成等差数列，则的值为（ ） A. 3 或

4、-1B. 9 或 1C. 3D. 9 【答案】C 【解析】 设正项等比数列an的公比为 q0，成等差数列， a3=2a2+3a1， 化为，即 q22q3=0，解得 q=3 则=q=3， 故选：C 6. 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 为朋友，每位朋友 1 本，则不同的 赠送方法共有 A. 4 种B. 10 种C. 18 种D. 20 种 【答案】B 【解析】 分两种情况：选 2 本画册，2 本集邮册送给 4 位朋友，有 C426 种方法；选 1 本画册，3 本集邮册送 给 4 位朋友，有 C414 种方法所以不同的赠送方法共有 6410(种) 7.

5、过点且不垂直于 轴的直线 与圆交于两点，点 在圆上，若是正 三角形，则直线 的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，分析圆的圆心与半径，设直线l的斜率为k，写出直线l的方程，由等边三角形的性质分析 可得圆心到直线l的距离d，则有，解可得k的值，即可得答案 【详解】根据题意，圆即（x1）2+y24，圆心为（1，0） ，半径r2， 设正的高为 h，由题意知为正的中心，M到直线l的距离dh， 又, 即,由垂径定理可得：，可得， 由题意知设直线l的斜率存在且不为 0，设为k， 则直线l的方程为 y+1k（x+1） ，即 kxy+k-10， 则有， 解可得：k

6、或 0（舍） 故选：D 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式，考查了一定的逻辑推理能力，属于中档 题 8.已知等边三角形中， 是线段的中点，垂足为 , 是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先由中线向量定理得到=，=，再将，都用基底表示，利用向 量相等，求得关系. 【详解】 是线段的中点，=； 是线段的中点，=； 又=； 令， 则-=（， ，解得， 故选 C. 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了中线向量定理、向量相等的概念及应用，属于中档 题. 9.设函数满足,当时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析

7、】 试题分析：因为函数满足，当时，所以 ，故选 A 考点：抽象函数的性质；三角函数的求值 【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的性质、三角函数的求值、三角函数的诱导公式等知识点的综合应 用，本题的解答中函数满足，当时，利用三角函数的诱导公 式，即可求解的值，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题 10.已知 F1，F2是双曲线（a0，b0）的左、右焦点，若点 F1关于双曲线渐近线的对称点 P 满 足OPF2POF2（O 为坐标原点） ，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用对称求出点 P 的坐标，结合OPF2POF2可知，利用两点间距

8、离公式可求得离心率. 【详解】设是关于渐近线的对称点，则有； 解得； 因为OPF2POF2，所以，； 化简可得，故选 B. 【点睛】本题主要考查双曲线的性质.离心率的求解一般是寻求之间的关系式. 11.三棱锥各顶点均在球 上，为该球的直径，三棱锥的体积 为 ，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由体积公式求出三棱锥的高，可得 到平面，由正弦定理可得三角形的外接圆的半径，由勾 股定理可得球半径，从而可得结果. 【详解】 如图， ， 三棱锥的体积为 ， 所以， 解得三棱锥的高为， 设 为三角形的外接圆的圆心， 连接，则平面， 因为为该球的直径， 所以 ，

9、 连接，由正弦定理可知三角形的外接圆的直径为 ， 由勾股定理可得球半径 球 的表面积为，故选 D. 【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球 的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用（为三棱的长） ；若 面（） ，则（ 为外接圆半径） ；可以转化为长方体的外接球；特殊几 何体可以直接找出球心和半径. 12.锐角中， 为角所对的边，点 为的重心，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 如图，连接，延长交于 ，由于 为重心，故 为中点， ，由重心的性质得，即，由余弦定理得， ， ，则 又因为为锐角三角

10、形，则 应该满足 将 代入可得 则，由对 勾函数性质可得的取值范围为，故选 B. 二、填空题：（本大题共二、填空题：（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.边长为 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于，将这个结论推广到空间是： 棱长为 的正四面体内任一点到各面距离之和等于_. 【答案】 【解析】 【分析】 由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比，根据已知 “正三角形内任意一点到三边距离之和是个定 值且为等边三角形的高” ，直接推断出空间几何中关于面的性质：棱长为 的正四面体内任一点到各面距离 之和等于正四面体的高 【详解

11、】解：边长为 a 的等边三角形内任意一点到三边距离之和是由该三角形的面积相等得到的， 由此可以推测棱长为 a 的正四面体内任意一点到各个面的距离之和可由体积相等得到 方法如下，如图， 在棱长为 a 的正四面体内任取一点 P，P 到四个面的距离分别为 h1，h2，h3，h4 四面体 ABCD 的四个面的面积相等，均为，高为 由体积相等得： 所以 故答案为 【点睛】本题是基础题，考查类比推理及正四面体的结构特征，考查空间想象能力，计算能力 14.的值等于 . 【答案】 【解析】 试题分析：,其中表示半径为的圆的面积的, ,因此原式等于,故填. 考点：定积分的计算. 15.已知满足，且目标函数的最大

12、值为 7，最小值为 4，则 _. 【答案】 【解析】 【分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行 域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可 【详解】画出可行域如图： 由题意得： 目标函数z2x+y在点B取得最大值为 7， 在点A处取得最小值为 1， A（1，1） ，B（3，1） ， 直线AB的方程是：xy20， 则2 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题 16.已知过抛物线的焦点 且垂直于 轴的直线与抛物线 相交于两点，动直线 与抛物线 相交于两点，若,则直线 与圆相交所

13、得最短 弦的长度为_. 【答案】4 【解析】 【分析】 求出A，B坐标，计算，即y1y24联立直线 与抛物线 ，根据根与系数的关系可得直线 过定点，再根据平面几何知识可得 PE时弦最短利用垂径定理求解即可. 【详解】由题意可知，2，2，4， 设，则， y1y24 又直线， 联立方程组消去x得：y24ty4n0， 则y1y24n，y1+y24t， y1y24，n1即直线 过点 E（1，0） 又圆的圆心 P（2，-2） ，半径 r=3， 当弦最短时，PE,弦长=2=4, 故答案为:4. 【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查了直线过定点问题的判断，考查了圆 中弦长问题，属于中

14、档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. . 17.已知数列满足， （1）证明数列为等比数列，求出的通项公式； （2）数列的前 项和为,求证:对任意，. 【答案】 （1）证明见解析，；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）把已知等式的两边同时除以，然后再依据问题构造一个等比数列，可得到证明并能求； （2）将各项进行放缩后得到一个等比数列，可求和，进而得到证明的问题. 【详解】 （1）由有 数列是首项为，公比为 的等比数列. （2） ， ， = = 【点睛】本题考查了数列的递推式、等比数列的证明、通项公式及求和公式，考查了由递推式构造新数

15、列 的方法，考查了放缩的技巧，属于中档题 18.如图，在三棱锥中，底面， 为的中点 （1）求证：； （2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积 【答案】 （1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）由余弦定理求出 BC，因为 为的中点，得 BDCD，因为，平方求出 AD，利用 勾股定理得 ABAD，结合 PAAD，得 AD平面 PAB，从而 ADPB 得证 （2）分别以直线 AB，AD，AP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设 PAa，求出平面 PBC 的法 向量，平面 PAB 的法向量，利用向量法求出 a，然后求解 VPABC SABCPA 即可 【详解】 （1）在中，由余弦定理得，则 因为 为的中点，则 因为，则 ，所以 因为，则 因为底面，则，所以平面，从而 （2）分别以直线，为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示 设，则点，所以， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，所以 因为为平面的法向量， 则，即 所以，解得，所以 所以 【点睛】本题考查了利用向量法求二面角的平面角，也考查了三棱锥的体积，线面垂直的判定定理，考查 空间想象能力以及计算能力，属于中档题 19.某高校在 2018 年的自主招生考试成绩中