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1、1. (2015 湖北省黄冈市) 如图，在矩形OABC 中，OA=5，AB=4，点D 为边AB 上一点,将BCD 沿直线CD 折叠,使点B 恰好落在OA边上的点E 处，分别以OC，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系.(1)求OE 的长；(2)求经过O，D，C 三点的抛物线的解析式；(3)一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2 个单位长的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1 个单位长的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动.设运动时间为t 秒，当t为何值时，DP=DQ；(4) 若点N 在(2)中的抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上,是否
2、存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M 点的坐标;若不存在，请说明理由.答案：解：（1）CE=CB=5，CO=AB=4， 在Rt COE 中，OE=3 ， 设AD=m ，则DE=BD=4 m ， OE=3， AE=5 3=2， 在RtADE 中，由勾股定理可得AD2 +AE2 =DE2 ，即m2 +22 = （4 m ）2 ， 解得m= ， D （，5 ）， C （4 ，0 ），O （0，0 ）， 设过O、D 、C 三点的抛物线为y=ax（x+4 ）， 5= a （+4 ），解得a= ， 抛物线解析式为y=x （x+4 ）= x2 + x ；
3、（2 ）CP=2t ， BP=5 2t ， 在Rt DBP 和Rt DEQ 中， ， Rt DBP Rt DEQ （HL ）， BP=EQ ， 5 2t=t ， t= ； （3 ）抛物线的对称为直线x= 2 ， 设N（2 ，n ）， 又由题意可知C （4 ，0 ），E （0，3 ）， 设M （m ，y ）， 当EN 为对角线，即四边形ECNM 是平行四边形时， 则线段EN 的中点横坐标为= 1，线段CM 中点横坐标为， EN，CM 互相平分， = 1，解得m=2 ， 又M 点在抛物线上， y=x2 + x=16 ， M （2 ，16）； 当EM 为对角线，即四边形ECMN 是平行四边形时， 则
4、线段EM 的中点横坐标为，线段CN 中点横坐标为 = 3， EN，CM 互相平分， = 3，解得m= 6， 又M 点在抛物线上， y= （6 ）2 + （6 ）=16 ， M （6，16）； 当CE 为对角线，即四边形EMCN 是平行四边形时， 则M 为抛物线的顶点，即M （2 ， ） 综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2 ，16）或（6，16）或（2 ， ） 2. (2015 重庆市) 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与轴的交点为D。（1）求直线BC的解析式。（2）点E（m，0），F（m+2，0）为轴上两点，其
5、中，分别垂直于轴，交抛物线与点，交BC于点M，N，当的值最大时，在轴上找一点R，使得值最大，请求出R点的坐标及的最大值。（3）如图2，已知轴上一点，现以点P为顶点，为边长在轴上方作等边三角形QPC，使GP轴，现将QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到达点A时停止，记平移后的QPG为，设与ADC的重叠部分面积为s，当点到轴的距离与点到直线AW的距离相等时，求s的值。图2图1 答案： 故：当时，最大，此时,由题意，Q点在的角平分线或外角平分线上当Q点在的角平分线上时，如图,RMQ RNC，故，则CRNCWO，故DN=CD-CN=故当Q点在的外角平分线上时，如图QRNWCO，故，故R
6、CMWCO，故CM=在RtQMP中，故在RtCPS中，故S=3. (2015 辽宁省辽阳市) 如图1，平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上，点B在y轴上（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上存在一点M，使MAB是以AB为直角边的直角三角形，求点M的坐标；（3）如图2，点E为线段AB上一点，BE=2，以BE为腰作等腰RtBDE，使它与AOB在直线AB的同侧，BED=90，BDE沿着BA方向以每秒一个单位的速度运动，当点B与A重合时停止运动，设运动时间为t秒，BDE与AOB重叠部分的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围答案：（1）；（2）（
7、，）或（，）；（3）解析试题分析：（1）先求出A与B的坐标，代入抛物线解析式求出a与c的值，即可确定出抛物线解析式；（2）分两种情况讨论：当MBA=90时；当BAM=90时，分别求出M坐标即可；（3）根据t的范围，分三种情况考虑：当0t时；当t3时；当3t5时，分别确定出S与t的函数解析式即可试题解析：（1）对于直线，当y=0时，即x=4，A（4，0），当x=0时，y=3，即B（0，3），把A与B坐标代入中，得：，解得：，则抛物线解析式为；（2）设M坐标为（x，），当MBA=90时，如图1，作MNy轴，则有MNO=90，NMB+MBN=90，MBN+ABM+ABO=180，MBN+ABO=90
8、，NMB=ABO，MNO=BOA，MNBBOA，即，解得：x=或x=0（舍去），当x=时，y=，即M（，）；当BAM=90时，易知AMNBAO，即，解得x=或4（舍去），当x=时，y=，即M（，），则满足条件M的坐标为（，）或（，）；（3）如图2所示，当D点运动到x轴上时，易知ADEABO，AE=，EE=ABBEAE=52=，当0t时，S=2；当t3时，S=；当3t5时，S=考点：1二次函数综合题；2分类讨论；3分段函数；4综合题；5压轴题4. (2015 四川省宜宾市) 如图，抛物线y= x2+bx+c与x轴分别相交于点A（2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P. （1）求抛物线
9、的解析式；（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H. 当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；是否存在这样的点F，使PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。答案：解：（1）由题意得：，解得：，抛物线的解析式为：（2）设点M、N从点O同时出发t秒后四边形OMHN为矩形，则M（t，0）、N（0，t）、H（t，t）点H在抛物线上，解得：H（，）设存在点F，使PFB为直角三角形如图，连结PF，BP，过点F作FQ对称轴于点Qc=4，A（-2，0），B（4，0），OBC=45
10、，P点的横坐标为1，点P为抛物线的顶点，y=,P（1，），OBC=45，M（t，0），MF=BM=4-t即在RtPQF中，FQ=1-t，PQ=，PF2=PFB为直角三角形，）当点F为直角顶点时，=+整理得：=，该方程无解）当点P为直角顶点时，=+解得：t=，F（，）综上所述：存在点F（，），使PFB为直角三角形。5. (2015 辽宁省营口市) 如图1，一条抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，且当x=1和x=3时，的值相等直线与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M(1)求这条抛物线的表达式(2)动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒
11、1个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为秒若使BPQ为直角三角形，请求出所有符合条件的值；求为何值时，四边形ACQ P的面积有最小值，最小值是多少？(3)如图2，当动点P运动到OB的中点时，过点P作PD轴，交抛物线于点D，连接OD，OM，MD得ODM，将OPD沿轴向左平移个单位长度（），将平移后的三角形与ODM重叠部分的面积记为，求与的函数关系式第26题图图2 CPAMDOxBy备用图 CPAMDOxBy图1QOCPAMxBy答案：解：(1) 当和时，的值相等，抛物线的对称轴为直线
12、，把和分别代入中，得顶点，另一个交点坐标为(6，6)， 2分则可设抛物线的表达式为，将(6，6)代入其中，解得，抛物线的表达式为，即3分 (2)如图1，当时， 解得 由题意知，A(2，0)，B(4，0)，所以OA=2，OB=4；当时，所以点C (0，3)，OC=3，由勾股定理知BC=5， 第26题答图1QOCPAMxByGOP=1t=t，BQ=4分PBQ是锐角，有PQB=90或BPQ=90两种情况：当PQB=90时， 可得PQBCOB， ， ；5分当BPQ=90时， 可得BPQBOC， ， 6分由题意知，当或时，以B，P，Q为顶点的三角形是直角三角形 7分如图1，过点Q作QGAB于G， BGQBOC， ，8分S四边形ACQP=SABC- SBPQ=0， 四边形ACQP的面积有最小值， 又满足，当时，四边形ACQP的面积最小，最小值是 10分(3)如图2，由OB=4得OP=2， 把代入中，得，所以D（2， 3），直线CDx轴，设直线OD的解析式为，则，所以，因为P1O1D1是由POD 沿x轴向左平移m个单位得到的，所以P1（2m，0），D1(2m， 3)，E（2m，）11分设直线OM的解析式为，则，所以C
