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1、1. (2014 贵州省黔西南州) 如图9所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过、三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）经过点P作轴的垂线，重足为E，连接AE （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为，PAE的面积为S，求S与之间的函数关系式，直接写出自变量的取值范围，并求S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作轴的垂线，垂足为F，连接EF，把PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点，求出的坐标，并判断是否在该抛物线上图9答案：解：（1）抛物线过点、 设其解析式为：且过点 即解析式为：，顶点坐标为： （2）过点A作
2、AHCF交CP的延长线于点H、直线AD的解析式为：当时，S取得最大值，最大值为：；此时点P的坐标为：，且点E与点C重合如图，过点作y轴的垂线交y轴于点N，交PE的延长线于点MPE=1.5，PF=3且FPE,设点的坐标为：，可得：、易证：即：解得：代入抛物线：知该点不在抛物线上20140917202946520647 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-172. (2014 广西玉林市) 给定直线l：y =kx，抛物线C：y =ax2 +bx +1（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；（2）若把直线l向上平移k2 +
3、1个单位长度得到直线l，则无论非零实数k取何值，直线l与抛物线C都只有一个交点 求此抛物线的解析式； 若P是此抛物线上任一点，过P作PQy轴且与直线y =2交于Q点，O为原点，求证：OP = PQ 第26题备用图（1）第26题备用图（2）答案：解：（1）当b=1时，抛物线为：y =ax2 + x +1， 令kx =ax2 + x +1，即：ax2 +（1-k）x +1=0，由韦达定理得：x1+x2 =，因为直线l与抛物线C的两交点关于原点对称，则x1+x2 =0， =0， k =1， 直线l ：y =x， 抛物线顶点A在直线l 上， ，得：a =，经检验：a =符合方程（2） 由题意得：直线l
4、解析式：y =kx +k2+1 令ax2 +bx +1 =kx +k2+1 即：ax2 +（b-k）x -k2 =0无论非零实数k取何值，直线l与抛物线C都只有一个交点,即不论k取任何非零实数，=(b-k)2 +4ak2 =0恒成立，亦即为：(1+4a)k2 -2bk +b2 =0，令 得： 抛物线的解析式： 如图所示，PQ与x轴相交于点E， 不妨设点P（，），则Q（，2），OE =，PE =， PQ =2 -（）=，则PQ2 =， 而OP2 =OE2 +PE2 =， PQ2 = OP2 ， OP = PQ20140917201541256298 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识
5、 2014-09-173. (2014 广西桂林市) 如图，已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（-2,0）、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x=1.（1）直接写出抛物线的解析式：（2）把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为A、C，当C落在抛物线上时，求A、C的坐标；（3）除（2）中的点A、C外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由。答案：解：（1）y =-x2+x+4；（2）抛物线的解析式：y =-x2+x+4，当x=0时，y=4，可得点C（0,4） 抛物线的对称轴为
6、x=1点C关于x=1的对称点C的坐标为（2,4）点C向右平移了2个单位长度则点A向右平移后的点A的坐标为（0,0）所以点A，C的坐标分别分（0,0），（2,4）。(3) 存在，共有两种情况：如图，四边形ACEF是平行四边形，过点F作FDx轴AF=CE，AEC=EAF，ADF=AOC=90DAF=CEOADFEOCDF=CO=4，AD=EO点F的纵坐标为-4，点F在抛物线y =-x2+x+4的图像上即-x2+x+4=-4,解得x=1点F(-+1,-4)DO=-1AO=2AD=EO=DO-AO=-3点E（-+3，0）所以点E的坐标为（-+3，0），点F的坐标为(-+1,-4)如图，四边形ACEF是
7、平行四边形过点F作FHx轴AC=EF，CAO=FEH，AOC=FHE=90AOCEHFHF=CO=4，AO=EH得点F的纵坐标是-4点F在抛物线y =-x2+x+4的图像上即-a2+a+4=-4,解得x=1则点F的坐标为（1+，-4）EH=1+，EH=AO=2OE=3+点E的坐标为（3+，0）（1+，-4）所以点E的坐标为（3+，0），点F的坐标为（1+，-4）综上可知，当点E为（-+3，0），点F为(-+1,-4)或点E为（3+，0），点F为（1+，-4）时，以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形。20140917200325510843 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识
8、2014-09-174. (2014 浙江省嘉兴市) 如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线上的一个动点，且点A在第一象限内AE轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交轴于点C，点D与点C关于轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD设线段AE的长为，BED的面积为（1）当时，求的值 (2)求关于的函数解析式（3）若时，求的值；当时，设，猜想与的数量关系并证明答案：解：（1）点A在二次函数y=x2的图象上，AEy轴于点E且AE=m，点A的坐标为（m，m2），当m=时，点A的坐标为（，1），点B的坐标为（0，2），BE=OE=1AEy轴，AEx轴，ABECBO，=，CO=2，点D和点C关于y轴对
9、称，DO=CO=2，S=BEDO=12=；（2）（I）当0m2时（如图1），点D和点C关于y轴对称，BODBOC，BEABOC，BEABOD，=，即BEDO=AEBO=2mS=BEDO=2m=m；（II）当m2时（如图2），同（I）解法得：S=BEDO=AEOB=m，由（I）（II）得，S关于m的函数解析式为S=m（m0且m2）（3）如图3，连接AD，BED的面积为，S=m=，点A的坐标为（，），=k，SADF=kSBDFSAEF=kSBEF，=k，k=；k与m之间的数量关系为k=m2，如图4，连接AD，=k，SADF=kSBDFSAEF=kSBEF，=k，点A的坐标为（m，m2），S=m，k
10、=m2（m2）20140916195825126911 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-165. (2014 山东省烟台市) 如图，在平面直角坐标系中，RtABC的顶点A、C分别在y轴，x轴上，ACB90，OA抛物线经过点B，与y轴交于点D(1)求抛物线的表达式；(2)点B关直线AC的对称点是否是在抛物线上？请说明理由；(3)延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明EDAC的理由答案：解：(1)把点B的坐标代入抛物线的表达式，得解得抛物线的表达式为（2）连接CD，过点B作BFx轴于点F，则BCFCBF90ACB90ACOBCF90，ACOCBFAOCCFB90A
11、OCCFB，设OCm，则CF2m，则有解得m1 m21OCCF1当x0时，ODBFODDOCBFC90OCDFCBDCCB， OCDFCB点B、C、D在同一条直线上点B与D关于直线AC对称点B关于直线AC对称的点在抛物线上（3）过点E作EGy轴于点G，设直线AB的表达式为，则解得代入抛物线表达式后解得当时，点E的坐标为（）3030OACEDGEDAC20140916192747034615 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09-166. (2014 江苏省苏州市) 如图，二次函数y=a(x2-2mx-3m2)(其中a，m是常数，且a0，m0)的图象与x轴分别交于点A，
12、B(点A位于点B 的左侧)，与y轴交于点C(0，-3)，点D在二次函数的图象上，CDAB，连接AD.过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分DAE.(1) 用含m的代数式表示a；(2) 求证：为定值；(3) 设该二次函数图象的顶点为F.探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由第29题 答案：(1)将C(0，-3)代入函数表达式得a(0-3m2)=-3. a=；(2)如图，过点D，E分别作x轴的垂线，垂足为M，N.由a(x2-2
13、mx-3m2)=0解得x1=-m，x2=-3m. A(-m，0)，B(3m，0) CDAB， 点D 的坐标为(2m，-3) AB平分DAE， DAM=EAN. DMA=ENA=90， ADMAEN. =.设点E的坐标为， =. x=4m. =(定值)；(3)连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G.由题意得：二次函数图象顶点F的坐标为(m，-4)过点F作FHx轴于点H. tan CGO=，tan FGH=， =. OG=3m.此时，GF=4，AD=3， =.由(2)得=， ADGFAE=345，以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点横坐标为-3m.20140916191055757489 7 与二次函数有关的综合问题 应用题 基础知识 2014-09
