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1、1. (2015 山东省东营市) 如图，抛物线经过A（2，0），B（，0），C（0，2）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求点D的坐标；（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足AMH=90？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由答案：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A（2，0），B（，0），C（0，2）代入解析式，得，解得抛物线的解析式是y=2x2+5x+2；（2）由题意可求得AC的解析式为y=x+2，如图1，设D点的坐标为（t，2t2+5t+2），过D作DEx轴交AC于E点，E点的坐标为（t
2、，t+2），DE=t+2（2t2+5t+2）=2t24t，用h表示点C到线段DE所在直线的距离，SDAC=SCDE+SADE=DEh+DE（2h）=DE2=DE=2t24t=2（t1）2+22t0，当t=1时，DCA的面积最大，此时D点的坐标为（1，1）；（3）存在点H满足AMH=90，由（1）知M点的坐标为（，）如图2：作MHAM交x轴于点K（x，0），作MNx轴于点N，AMN+KMA=90，NKM+KMN=90，AMN=NKMANM=MNK，AMNMKN，=，MN2=ANNK，（）2=（2）（x+），解得x=K点坐标为（，0）直线MK的解析式为y=x，把代入，化简得48x2+104x+55
3、=0=104244855=644=2560，x1=，x2=，将x2=代入y=x，解得y=直线MN与抛物线有两个交点M、H，抛物线上存在点H，满足AMH=90，此时点H的坐标为（，）2. (2015 湖北省宜昌市) 如图1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB=2BC，画射线OA，把ADC绕点C逆时针旋转90得ADC，连接ED，抛物线y=ax2+bx+n（a0）过E，A两点（1）填空：AOB=45，用m表示点A的坐标：A（m，m）；（2）当抛物线的顶点为A，抛物线与线段AB交于点P，且=
4、时，DOE与ABC是否相似？说明理由；（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MNy轴，垂足为N：求a，b，m满足的关系式；当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a的取值范围答案：解：（1）B（2m，0），C（3m，0），OB=2m，OC=3m，即BC=m，AB=2BC，AB=2m=0B，ABO=90，ABO为等腰直角三角形，AOB=45，由旋转的性质得：OD=DA=m，即A（m，m）；故答案为：45；m，m；（2）DOEABC，理由如下：由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），=，P（2m，m），A为抛物线的顶点，设抛物线解
5、析式为y=a（xm）2m，抛物线过点E（0，n），n=a（0m）2m，即m=2n，OE：OD=BC：AB=1：2，EOD=ABC=90，DOEABC；（3）当点E与点O重合时，E（0，0），抛物线y=ax2+bx+c过点E，A，整理得：am+b=1，即b=1am；抛物线与四边形ABCD有公共点，抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为10，a（3m）2（1+am）3m=0，整理得：am=，即抛物线解析式为y=x2x，由A（2m，2m），可得直线OA解析式为y=x，联立抛物线与直线OA解析式得：，解得：x=5m，y=5m，即M（5m，5m），令
6、5m=10，即m=2，当m=2时，a=；若抛物线过点A（2m，2m），则a（2m）2（1+am）2m=2m，解得：am=2，m=2，a=1，则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为a13. (2015 湖北省随州市) 如图，已知抛物线y=（x+2）（x4）与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，CDx轴交抛物线于点D，M为抛物线的顶点（1）求点A、B、C的坐标；（2）设动点N（2，n），求使MN+BN的值最小时n的值；（3）P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与ABD相似（PAB与ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由
7、答案：解：（1）令y=0得x1=2，x2=4，点A（2，0）、B（4，0）令x=0得y=，点C（0，）（2）将x=1代入抛物线的解析式得y=点M的坐标为（1，）点M关于直线x=2的对称点M的坐标为（5，）设直线MB的解析式为y=kx+b将点M、B的坐标代入得：解得：所以直线MB的解析式为y=将x=2代入得：y=所以n=（3）过点D作DEBA，垂足为E由勾股定理得：AD=3，BD=，如下图，当P1ABADB时，即：P1B=6过点P1作P1M1AB，垂足为M1即：解得：P1M1=6，即：解得：BM1=12点P1的坐标为（8，6）点P1不在抛物线上，所以此种情况不存在；当P2ABBDA时，即：P2B
8、=6过点P2作P2M2AB，垂足为M2，即：P2M2=2，即：M2B=8点P2的坐标为（4，2）将x=4代入抛物线的解析式得：y=2，点P2在抛物线上由抛物线的对称性可知：点P2与点P4关于直线x=1对称，P4的坐标为（6，2），当点P3位于点C处时，两三角形全等，所以点P3的坐标为（0，），综上所述点P的坐标为：（4，2）或（6，2）或（0，）时，以P、A、B为顶点的三角形与ABD相似4. (2015 重庆市綦江县) 如图，抛物线与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. 点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线
9、AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FGAD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.答案：答案解：AD：过点F作x轴的垂线，交直线AD于点M，易证FGHFGM故设则FM=则 C=故最大周长为若AP为对角线如图，由PMSMAR可得由点的平移可知故Q点关于直线AM的对称点T为 若AQ为对角线如图，同理可知P由点的平移可知Q故Q点关于直线AM的对称点T为 5. (2015 四川省遂宁市) 如图，已知抛物线y=ax2
10、+bx+c经过A（2，0），B（4，0），C（0，3）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点M，使ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式答案：分析：（1）把A（2，0），B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c，求解即可；（2）作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM1，则AM1C是等腰三角形，然后求出OM1得出M1的坐标，当CA=CM2时，则AM2C是等腰
11、三角形，求出OM2得出M2的坐标，当CA=AM3时，则AM3C是等腰三角形，求出OM3得出M3的坐标，当CA=CM4时，则AM4C是等腰三角形，求出OM4得出M4的坐标，（3）当点P在y轴或y轴右侧时，设直线与BC交与点D，先求出SBOC，再根据BPDBOC，得出=（）2，=（）2，求出S=SBPD；当点P在y轴左侧时，设直线与AC交与点E，根据=（）2，得出=（）2，求出S=SABCSAPE=9，再整理即可解答：解：（1）把A（2，0），B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c得：，解得：，则抛物线的解析式是：y=x2+x+3；（2）如图1，作线段CA的垂直平分线，交y轴于M
12、，交AC与N，连结AM1，则AM1C是等腰三角形，AC=，CN=，CNM1COA，=，=，CM1=，OM1=OCCM1=3=，M1的坐标是（0，），当CA=CM2=时，则AM2C是等腰三角形，则OM2=3+，M2的坐标是（0，3+），当CA=AM3=时，则AM3C是等腰三角形，则OM3=3，M3的坐标是（0，3），当CA=CM4=时，则AM4C是等腰三角形，则OM4=3，M4的坐标是（0，3），（3）如图2，当点P在y轴或y轴右侧时，设直线与BC交与点D，OB=4，OC=3，SBOC=6，BP=BOOP=4t，=，BPDBOC，=（）2，=（）2，S=SBPD=t23t+6（0t4）；当点P在
13、y轴左侧时，设直线与AC交与点E，OP=t，AP=t+2，=，=（）2，=（）2，SAPE=，S=SABCSAPE=9=t23t+6（2t0）点评：此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段的垂直平分线等，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，注意分类讨论，数形结合的数学思想方法6. (2015 四川省攀枝花市) 如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得QMB与PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由答案：
