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1、专题13旋转变换 （录入：王云峰）阅读与思考在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角旋转变换不改变图形的形状和大小通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度旋转变换前后的图形有下列性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；（3）对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心例题与求解【例1】如图，边长为1的正A1B1C1的中心为O，将正A1B1C1绕中心O旋转到A2B2C2，使得A2B2丄B1C1，则两个三角形的公共部分
2、（即六边形ABCDEF）的面积为（“新知杯”上海市竞赛试题） 解题思路：S六边形ABCDEF，解题的关键是寻找CB1，CB2，CD，C1D之间的关系 【例2】如图，已知AOB，COD都是等腰直角三角形，AOBCQD90，N，M，Q，P分别为AB，CB，CD，AD的中点求证：四边形NMQP为正方形解题思路：连结BD，AC，并延长AC交于点E，则OAC可以看作是由OBD绕点O逆时针旋转90得到的，且AED90，这是证明本例的关键 【例3】如图，巳知在ABC中，ABAC，P为形内一点，且APBAPC求证：PBPC （北京市竞赛试题）解题思路：以A为中心，将APB旋转一个BAC，使AB边与AC边重合，
3、这时APB到了APC的位置 【例4】点B，C，E在同一直线上，点A，D在直线CE的同侧，ABAC，ECED，BACCED，直线AE，BD交于点F（1）如图1，若BAC60，则AFB；如图2，若BAC90，则AFB；（2）如图3，若BAC，则AFB（用含的式子表示）；（3）将图3中的ABC绕点C旋转（点F不与点A，B重合），得图4或图5在图4中，AFB与的数量关系是；在图5中，AFB与的数量关系是请你任选其中一个结论证明 （武汉市中考试题）图1图2图3图4图5解题思路：从特殊到一般，在动态的旋转过程中，有两组不变的关系：ABCEDC，BCDACE，这是解本例的关键【例5】如图，已知凸五边形ABC
4、DE中，ABBCCDDEEA，ABC2DBE求证：ABC60 （北京市竞赛试题）解题思路：将ABE以B为旋转中心顺时针旋转ABC，使得AB与BC重合，落在CBE位置，则ABECBE，AECE，BEBE，CBEABE 【例6】如图，已知正方形ABCD内一动点E到A，B，C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长 （广东省竞赛试题）解题思路：本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值时E点的位置，通过旋转变换，把EA，EB，EC连结起来 能力训练A级1如图，巳知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE2，EC1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F，C两点的距离为 （
5、上海市中考试题）第1题第2题第3题2如图，P是正ABC内的一点，且PA6，PB8，PC10若将PAC绕点A逆时针旋转后，得到PAB，则点P与点P之间的距离为，APB（青岛市中考试题）3如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD2，BC3，BCD45将CD以点D为中心逆时针旋转90至ED，连结AE，则ADE的面积是 4如图，在RtABC中，已知C90，B50，点D在边BC上，BD2CD把ABC绕着点D逆时针旋转（0180）度后，如果点B恰好落在初始RtABC的边上，那么（上海市中考试题）第4题第5题第6题5如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60至ABCD的位置，则这两
6、个正方形重叠部分的面积是（全国初中数学联赛试题）6如图，在RtABC中，A90，AB6cm，AC8cm以斜边BC上距离点B6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90至DEF，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积为（黄冈市竞赛试题）7如图，将ABC绕点C（0，1）旋转180得到ABC，设点A的坐标为（，），则点A的坐标为（）A（，）B（，）C（，）D（，）（河南省中考试题）第7题第8题第9题8如图，已知P是等边ABC内部一点，APBBPCCPA567则以PA，PB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）A234B345C456D不能确定（全国初中数学通讯赛试题）9如图，在A
7、BC中，BAC120，P是ABC内一点，则（）APAPBPCABACBPAPBPCABACCPAPBPCABACDPARBPC与ABAC的大小关系不确定（武汉市竞赛试题）10已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF2OA，OE2OD连结EF，将FOE绕点O逆时针旋转角得到FOE（如图2）图1图2（1）探究AE与BF的数量关系，并给予证明；（2）当30时，求证：AOE为直角三角形（南通市中考试题）11在ABC和DEF中，ABAC，DEDF，BACEDF，点M，N分别是BE，CF的中点（1）若点A与点D重合，点E，F分别在AB，AC上（如图1），则AM与AN的
8、数量关系是，MAN与的数量关系是；（2）将图1中的DEF绕点A（D）旋转（如图2），第（1）问的两个结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由图1图2B级1如图，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，MDN60，则AMN的周长（重庆市竞赛试题）第1题第2题第3题2如图，在等腰RtABC的斜边AB上取两点M，N，使MCN45，记AM，MN，BN，则以线段，为边长的三角形的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D随，的变化而变化（安徽省竞赛试题）3如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，把AOB绕点A顺时针旋转90后得到AOB，则点B的坐标是（）A（3
9、，4）B（4，5）C（7，4）D（7，3）（丽水市中考试题）4如图，正方形ABCD中，已知AB，点分别在BC，CD上，且BAE30，DAF15，求AEF的面积（“希望杯”邀请赛试题）第4题图图第5题5（1）如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BAD60，BCD120求证：BCDCAC；（2）如图2，在四边形ABCD中，ABBC，ABC60，P为四边形ABCD内一点，且APD120，求证：PAPDPCBD（江苏省竞赛试题）6如图，在ABC中，ABAC，BAC120，ADE是正三角形，点D在边BC上，已知BDDC23，当ABC的面积是50cm2时，求ADE的面积（日本数学奥林匹克试题）第6题第7
10、题7如图，已知O是锐角三角形ABC内一点，AQBBOCCOA120，P是ABC内任一点求证：PAPBPCOAOBOC（杭州市竞赛试题）8（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CGBC），B，C，G在同一条直线上，M为线段AE的中点探究：线段MD，MF的关系；（2）如图2，若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45，使得正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）如图3，若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转，M为AE的中点试问：第（1）问中探究的结论是否成立？（大连市竞赛试题）图1图
11、2图39已知正方形ABCD和等腰RtBEF，BEEF，BEF90按图1的位置，使点F在BC上，取DF的中点G，连结EG，CG（1）探索EG，CG的数量关系和位置关系并证明；（2）将图中BEF绕点B顺时针旋转45，再连结DF，取DF中点G（如图2），第（1）问中的结论是否仍然成立？请你证明；（3）将图1中BEF绕点B转动任意角度（在090之间），再连结DF，取DF的中点G（如图3），第（1）问中的结论是否仍成立？不必证明图3图2图110在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A（3，0），B（0，4）以点A为旋转中心，把ABO顺时针旋转，得ACD记旋转角为，ABO为（1）如图1，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；（2）如图2，当旋转后满足BC轴时，求与之间的数量关系；（3）当旋转后满足AOD时，求直线CD的解析式（天津市中考试题）图1图2第10题第11题 11如图，在ABC中，BAC60，AB2AD，点P在ABC内，且PA，PB5，PC2，求ABC的面积（“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）
