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1、绝密 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第卷1至2页，第卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件，互斥，那么如果事件，相互独立，那么.圆柱的
2、体积公式. 圆锥的体积公式.其中表示圆柱的底面面积， 其中表示圆锥的底面面积，表示圆柱的高. 表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）是虚数单位，复数（） （A） （B） （C） （D）（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（） （A）2 （B）3 （C）4 （D）5（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的的值为（）学科网（A）15 （B）105（C）245 （D）945（4）函数的单调递增区间是（）（A） （B）（C） （D）（5）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）（A） （B）（C）
3、（D）（6）如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下，给出下列四个结论：平分；.则所有正确结论的序号是（）（A） （B） （C） （D）（7）设，则|“”是“”的（）（A）充要不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充要也不必要条件（8）已知菱形的边长为2，点分别在边上，.若，则（ ）（A） （B） （C） （D）第卷注意事项：学科网1用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2本卷共12小题，共110分。二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会
4、实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_名学生.（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_.（11）设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值为_.（12）在中，内角所对的边分别是.已知，则的值为_.（13）在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则的值为_.（14）已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为_.三、解答题（本题共6道大题，满分80分解
5、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（15）（本小题满分13分）已知函数，.（）求的最小正周期；（）求在闭区间上的最大值和最小值. 学科网（16）（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.（）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点.（）证明 ；（）求直线与
6、平面所成角的正弦值；（）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.（18）（本小题满分13分）设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.（）求椭圆的离心率；（）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.（19）（本小题满分14分）已知和均为给定的大于1的自然数.设集合，集合.（）当，时，用列举法表示集合；（）设，其中（20）（本小题满分14分）已知函数，.已知函数有两个零点，且.（）求的取值范围；（）证明 随着的减小而增大；（）证明 随着的减小而增大.参考答案及解析一、选择题题号12345678答案ABBDADCC（1）是虚数单位，复数
7、（） （A） （B） （C） （D）解：A .（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（） （A）2 （B）3 （C）4 （D）5解：B 作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点时，取得最小值3.（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的的值为（）（A）15 （B）105（C）245 （D）945解：B 时，；时，；时，输出.（4）函数的单调递增区间是（）（A） （B）（C） （D）解：D ，解得或.由复合函数的单调性知的单调递增区间为.（5）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）（A） （B）（C） （D）解：A 依题意得，所以，
8、双曲线的方程为.（6）如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下，给出下列四个结论：平分；.则所有正确结论的序号是（）（A） （B） （C） （D）解：D 由弦切角定理得，又，所以，所以，即，排除A、C.又，排除B.（7）设，则|“”是“”的（）（A）充要不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充要也不必要条件解：C 设，则，所以是上的增函数，“”是“”的充要条件.（8）已知菱形的边长为2，点分别在边上，.若，则（ ）（A） （B） （C） （D）解：C 因为，所以.因为，所以，.因为，所以，即 同理可得 ，+得.第卷注意事
9、项：1用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2本卷共12小题，共110分。二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_名学生.解：60 应从一年级抽取名.（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_.解： 该几何体的体积为.（11）设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值
10、为_.解： 依题意得，所以，解得.（12）在中，内角所对的边分别是.已知，则的值为_.解： 因为，所以，解得，.所以.（13）在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则的值为_.解：3 圆的方程为，直线为.因为是等边三角形，所以其中一个交点坐标为，代入圆的方程可得.（14）已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为_.解：或显然.（）当与相切时，此时恰有3个互异的实数根.（）当直线与函数相切时，此时恰有2个互异的实数根.结合图象可知或.解2：显然，所以.令，则.因为，所以.结合图象可得或.三、解答题（本题共6道大题，满分80分解答应写出文字说明，证明过程或演
11、算步骤）（15）（本小题满分13分）已知函数，.（）求的最小正周期；（）求在闭区间上的最大值和最小值.（15）本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分13分.（）解：由已知，有 .所以，的最小正周期.（）解：因为在区间上是减函数，在区间上是增函数.，.所以，函数在闭区间上的最大值为，最小值为.（16）（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活
12、动（每位同学被选到的可能性相同）.（）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识. 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 满分13分.（）解：设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件，则.所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为.所以，的最小正周期.（）解：随机变量的所有可能值为0，1，2，3.所以，随机变量的分布列是0123随机变量的数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点.（）证明 ；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.（17）本小题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 满分13分.（方法一）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，.由为棱的中点，得.（）证明：向量，故. 所以，.（）
