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1、专题28 快速解决直线与圆锥曲线综合问题解题技巧一【学习目标】1.掌握圆锥曲线的定义；2掌握焦点三角形的应用和几何意义；3.掌握圆锥曲线方程的求法；4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系；5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。一【知识点总结】1.椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距2椭圆的标准方程(1)，焦点，其中(2)，焦点，其中3椭圆的几何性质以为例(1)范围：(2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心：(3)顶点：长轴端点：，短轴端点：；长轴长，短轴长，焦距.(4)离心率越大，椭圆越扁，越小，椭圆越圆(5)
2、的关系：.4双曲线的定义： 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距5双曲线的标准方程(1)，焦点，其中(2)，焦点，其中6双曲线的几何性质以为例(1)范围：(2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心：(3)顶点：实轴端点：，虚轴端点：；实轴长，虚轴长，焦距.(4)离心率(5) 渐近线方程.7抛物线的定义： 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，直线叫抛物线的准线. 8抛物线的标准方程(1)对应的焦点分别为：. (2)离心率.三【典例分析及训练】（一）圆锥曲线定义的灵活应
3、用例1已知抛物线的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线相交于点，直线交抛物线于另一点，直线交抛物线于另一点，若，则_【答案】练习1已知是抛物线的焦点，是抛物线上两点，为坐标原点，若，则_【答案】8【解析】，则，,为公共点，则三点共线，由题可得，则,故答案为练习2. 已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于_.【答案】6【解析】结合题意，绘制图像：根据双曲线的性质可知，得到，所以，而，所以，所以最小值为6.练习3有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为，点A为两曲线的一个公共点，且满足F1AF290，则的值为_ 故答案为：.（五）圆锥曲线的方程的灵活应用例5已知椭圆
4、，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点.下表给出坐标的五个点中，有两个点在上，另有两个点在上. 则椭圆的方程为_，的左焦点到的准线之间的距离为_. 【答案】 【解析】注意到在椭圆上，故，根据椭圆的范围可知，横坐标为的点不在椭圆上.设抛物线方程为，在抛物线上，即，即，且在抛物线的图像上，抛物线准线为.设椭圆的方程为，将代入，求得，不符合题意.将点代入，求得，符合题意，故椭圆方程为.故左焦点为.所以抛物线的准线和椭圆左焦点的距离为.练习1给出下列命题，其中所有正确命题的序号是_抛物线的准线方程为；过点作与抛物线只有一个公共点的直线仅有1条；是抛物线上一动点，以为圆心作与抛物线准线相切的
5、圆，则此圆一定过定点.抛物线上到直线距离最短的点的坐标为.【答案】【解析】抛物线的标准方程为不是；故错误过点作与抛物线只有一个公共点的直线有两条，一条是过点与抛物线相切的直线，一条是过点平行于轴的直线，故错误设,则以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆的方程为,化简可得,当时恒成立，故此圆一定过定点，故正确设抛物线上到直线距离最短的点的坐标为则当时，取最小值则抛物线上到直线距离最短的点的坐标为，故正确综上其中所有正确命题的序号为练习2在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆 的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点若为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是_【答案】【解析】点F1、F2分别是椭圆1
6、（ab0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，F1（c，0），F2（c，0），A（c，），B（c，），是锐角三角形，AF1 F245，tanAF1 F21，1，整理，得b22ac，a2c22ac，两边同时除以a2，并整理，得e2+2e10，解得e1，或e1，（舍），0e1，椭圆的离心率e的取值范围是（1，1）故答案为：（1，1）（六）定点问题例6.已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为2时，坐标原点O到l的距离为求a、b的值；上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的点P的坐标与l的方程；若不存在，说明理
7、由【答案】（1），；（2）见解析【解析】设，直线l的方程为，坐标原点O到l的距离为，即；由知椭圆的方程为，即，假设存在满足题设条件的直线，由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为l：，设、，把l：代入椭圆方程，整理得，显然由韦达定理有：，在椭圆上，代入椭圆方程整理得，解得无解，故不存在这样的点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立练习1已知椭圆的离心率为，短轴长为4.（）求椭圆的方程；（）过点作两条直线，分别交椭圆于两点（异于），当直线，的斜率之和为4时，直线恒过定点，求出定点的坐标.【答案】（1）（2）见解析【解析】（）由题意知：，.解得，所以椭圆方程为.（）当直线的斜率存在时，设直线方程为
8、，.由，得，联立，消去得，由题意知二次方程有两个不等实根，.代入得，整理得.，所以直线恒过定点.当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，其中，.由，得，.当直线的斜率不存在时，直线也过定点.综上所述，直线恒过定点.练习2.已知椭圆：过点，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点为的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.【答案】（1） (2)见证明【解析】（1）由题意知，解得，则椭圆的方程是.（2）设，则，由已知得直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为：，由，得，所以，直线的方程为：，所以，令，则，所以直线与轴交于定点.练习3.已知
9、点和直线，为曲线上一点，为点到直线的距离且满足.（1）求曲线的轨迹方程；（2）过点作曲线的两条动弦，若直线斜率之积为，试问直线是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）设点为曲线上任一点，则依题意得：，化简得：曲线的轨迹方程为：.（2）一定经过一定点.设，当直线的斜率不存在时，设的方程为， 则：，不合题意.故直线的斜率存在，设直线的方程为，并代入椭圆方程，整理得：，由，得：.设，则是方程的两根，由根与系数的关系得：，由得：，即，整理得：，又因为，所以，此时直线的方程为.所以直线恒过一定点.练习4.已知椭圆的离心率为，短轴长为4.（
10、）求椭圆的方程；（）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1) (2)见解析【解析】（）由题意知：，.解得，所以椭圆方程为.，即.所以直线过定点.当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，其中. ，由，得，.当直线的斜率不存在时，直线也过定点.综上所述，直线恒过定点.（七）定值问题例7. 已知椭圆的左右焦点分别为与，椭圆上的点到右焦点的最短距离为，为坐标平面上的一点，过点作直线和分别与椭圆交于点，和，如图所示.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点在双曲线（顶点除外）上运动，证明为定值，并求出此定值
11、.【答案】（1）； （2）.【解析】（1）依题意有，而，故，从而椭圆：.（2）设，则，因双曲线的顶点恰为椭圆的焦点，而因而直线与的斜率都存在，分别设为，则由于，设直线的斜率为，则，代入椭圆方程并化简得设，则从而.同理有，从而有 从而为定值.练习1已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，其离心率为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作直线（轴除外）与椭圆交于不同的两点，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点坐标及定值，若不存在，说明理由.【答案】(1) (2)见解析【解析】（1）由得：所以椭圆方程为（2）由于直线l过右焦点F（1，0），可设直线l方程为：x=my+1,代入椭圆方程并
12、整理得：（4+3m2)x2-8x+4-12m2=0(或（4+3m2)y2+6my-9=0)=64-（4+3m2) (4-12m2)0设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程的两个解，由韦达定理得：x1+x2=, x1x2= ，y1+y2=,y1y2假设在x轴上存在定点P(x0,0)，使为定值，则：(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=x1x2+y1y2-x0(x1+x2)+x02=+-+x02=由题意，上式为定值，所以应有： 即：12x02-48=-15-24x0+12x02解得：x0=,此时练习2已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的中垂线与交于点. （）求点的轨迹的方程.（
13、）斜率不为0的动直线过点且与轨迹交于，两点，为坐标原点.是否存在常数，使得为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.【答案】（）（）见解析【解析】（）由，得，所以，半径为4.因为线段的中垂线与交于点，所以，所以.所以点的轨迹是以，为焦点，且长轴长为的椭圆，所以.所以点的轨迹的方程为.（）设直线，.联立化简整理得，所以，.因为，所以.当，即时，取定值.练习3.已知椭圆，离心率，过点的动直线与椭圆相交于，两点.当轴时，.（1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆的上顶点，证明为定值.【答案】（1）（2）详见解析【解析】（1）由可得，所以，即，从而椭圆当轴时，由，不妨取，代入椭圆，得，故椭圆（2
14、）依题意，当的斜率存在时，设，将代入的方程，得， 当时， ，因为，所以 由（1）得，当的斜率不存在时，所以综上，（八）定点定值综合例8. 已知椭圆，离心率，过点的动直线与椭圆相交于，两点.当轴时，.（1）求椭圆的方程；（2）轴上是否存在定点，使得为定值？并说明理由.【答案】（1）（2）答案见解析.（2）假设存在满足题设当的斜率存在时，设， ， ，将代入的方程，得，当时， ，因为， ，所以 所以当时， 由（1）得，当的斜率不存在时， ， ，所以综上，存在定点，使得练习1. 已知圆，圆过点且与圆相切，设圆心的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）点，为曲线上的两点（不与点重合），记直线的斜率分别为，若，请判断直线是否过定点. 若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请
