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1、宁波效实中学2018-2019学年第一学期期中考试高一数学一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每个题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化简全集，再根据补集定义求结果.【详解】因为,所以，选B.【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解2.下列四组函数中，与表示同一函数的是（ ）A. , B. , C. , D. ,【答案】B【解析】【分析】先求定义域，在定义域相同的情况下判断解析式是否相同，进而确定选项.【详解】A.,定义域不同；B.,为同一函数；C. ,定义域
2、不同；,定义域不同；因此选B.【点睛】本题考查函数定义域以及函数解析式，考查基本分析与求解能力.3.已知，以下一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式性质推导D，举反例说明A,B ,C不成立.【详解】210-1-2,21=-1（-2），2（-1）=1（-2），A，B，C错；因为，所以,因此，即得，D对.【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力.4.设函数，则的表达式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令再换元得函数解析式.【详解】令则,所以,从而,选B.【点睛】本题考查换元法求函数解析式，考查基本转化求解能力.5.三个数，之间
3、的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先与1比较大小，再根据幂函数单调性确定大小.【详解】因为，,又为上单调递增函数，所以,综上，选B.【点睛】本题考查比较大小以及幂函数单调性，考查基本分析判断能力.6.函数的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A.【详解】因为为奇函数，所以舍去C,D;因为时,所以舍去B，选A.【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的
4、变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复(2)由实际情景探究函数图象关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题7.不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据倒数性质，分类求解不等式.【详解】当时,;当时,;因此不等式解集为，选D.【点睛】本题考查解分式不等式，考查分类讨论思想与基本求解能力.8.已知为上奇函数，当时,，则当时，( ).A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：取，则，有，因为是上的奇函数，所以，代入前式得，故正确答案为B.考点：1.函数的奇偶性；2.分段函数.9.已知，若关于
5、的方程有三个实根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先解方程，再根据图象确定满足条件时的取值范围.【详解】因为，所以或,由图象得有一个实根0，所以要使有两个不同非零实根，需，选C.【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解.10.给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.设函数，二次函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，则的取值不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【
6、解析】【分析】根据定义，逐一求函数与的图象交点个数，再作选择.【详解】当时，为整数,只需考虑当时，与的图象交点个数，由得,时0；此时 与有一个交点（0，0），时,与有一个交点（0，0），时;与有两个交点（0，0），;时与有一个交点（0，0），因此选C.【点睛】合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题4分，单空题每小题3分，共25分.11.（1）_；（2）_.【答案】 (1). (2). 4【解析】【分析】(1)根据分数指数幂化简求值；（2）根据对数运算法则化简求值.【详解】(1),
7、【点睛】本题考查分数指数幂以及对数运算法则，考查基本化解求值能力.12.关于的不等式的解集为，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先根据不等式解集与对应方程根的关系得为方程两根，再根据韦达定理求结果.【详解】由题意得为方程两根，所以【点睛】本题考查二次不等式与二次方程根得关系，考查基本分析求解能力.13.函数的值域是_，单调递增区间是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先求二次函数值域，再根据指数函数单调性求函数值域；根据二次函数单调性与指数函数单调性以及复合函数单调性法则求函数增区间.【详解】因为,所以，即函数的值域是因为单调递减，在（1，+）上单调递减，因
8、此函数的单调递增区间是（1，+）.【点睛】本题考查复合函数值域与单调性，考查基本分析求解能力.14.已知，且，则的最大值是_，的最小值是_.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】根据基本不等式得的最大值，即得的最大值；利用1的代换得,再根据基本不等式求最值.【详解】因为,所以，即得，当且仅当时取等号，所以的最大值是2；因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15.若集合，则
9、实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据函数定义域为R求实数a取值范围.【详解】因为集合，所以恒成立，即，即【点睛】本题考查函数定义域以及不等式恒成立问题，考查基本分析求解能力.16.函数，则的值域是_.【答案】【解析】【分析】先化简函数，再分别求各段值域，最后求并集得结果.【详解】当,即或时，;当,即时，,0因此的值域是【点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.17.已知时，对任意，有恒成立，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据条件的为方程的根,化简为一元函数,再求取值范围.【详解】因为对任意，有恒成立，所以为方程的根,即,因为,
10、所以或，即或.【点睛】在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.三、解答题：本大题共5小题，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知集合，其中.（1）当时，求集合，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】 【解析】【分析】（1）先求集合B,再根据交集、并集以及补集得定义求结果，（2）先根据条件化为集合关系，再结合数轴求实数的取值范围.【详解】(1)当时，,所以因为,所以(2)因为，所以,当时,满足条件，,不满足条件，因此.【点睛】防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.19.解关于的不等式（1
11、）；（2）（）【答案】 【解析】【分析】(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，(2)先因式分解，再根据两根大小分类讨论，分别求对应解集.【详解】(1)当时,所以,当时,所以,当时,舍去，综上不等式解集为,（2）因为,所以当,解集为当,解集为.【点睛】含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.20.已知函数（）（1）求函数的值域；（2）若时，函数的最小值为，求的值和函数的最大值.【答案】（1） （2）【解析】【分析
12、】(1)先设,转化为二次函数，再根据二次函数性质求值域，（2）【详解】(1)设,则,即,(2) 设,则,而,所以当时, 函数取最小值，即,因为,所以,当时函数取最大值，为.【点睛】研究二次函数性质时，要注意对称轴与定义区间位置关系.21.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若对于任意的，都有成立，求实数的范围.【答案】（1）递增区间 （2） 【解析】【分析】(1)先根据绝对值定义将函数化为分段函数形式,再根据各段函数单调性确定增区间,(2)先化简,再利用基本不等式求最值得实数的范围.【详解】(1)因为,所以当时,单调递增, 当时,单调递增, 当时,单调递减,因此函数的单调递增区间为,（
13、2）当时,令,则,为上单调递减函数,因此时,取最大值18,从而.【点睛】不等式有解问题与不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立，恒成立.22.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断并证明函数的单调性；(3)若存在，不等式有解，求的取值范围.【答案】（1） （2）增函数 （3）【解析】【分析】(1)根据奇函数定义求的值；(2)利用单调性定义判断与证明函数单调性,(3)先根据函数奇偶性与单调性化简不等式,再利用变量分离转化为对应函数最值问题,最后求函数最值得的取值范围.【详解】(1)因为函数是奇函数,所以,.设,则,所以函数为R上单调增函数，（3）因为函数是奇函数,所以等价于,因为函数为R上单调增函数，所以,因此因为当时,所以,当且仅当时取等号,从而【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
