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1、2017-2018学年上海市金山区金山中学高一年级下学期期末考数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1小题至第6小题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接写结果，否则一律得零分.1.已知向量若则_【答案】-2.【解析】分析：利用向量垂直的条件，结合题中所给的向量坐标，列出方程求解即可.详解：根据题意，由，可得，解得，故答案是.点睛：该题考查的是有关利用向量垂直，求其坐标所满足的条件，对应的知识点是向量垂直，向量的数量积等于零，应用向量数量积坐标公式求得结果.2.已知函数，则该函数的定义域为_【答案】.【解析】分析：根据反三角函数的定
2、义域，列出不等式，求出x的取值范围，进而得到函数的定义域.详解：函数，所以，解得，所以该函数的定义域为，故答案为.点睛：该题考查的是有关反余弦函数的定义域问题，在解题的过程中，结合原函数的值域为反函数的定义域，利用题中所给的函数解析式，列出相应的式子，求得结果.3.若等差数列的前项和为，则_【答案】12.【解析】试题分析：根据题意，由于等差数列的前10项和为30则，由于等差中项的性质可知，故答案为12.考点：等差数列的性质点评：解决的关键是根据等差中项的性质来得到求解，属于基础题。4.已知，则_【答案】7.【解析】分析：根据诱导公式求出的值，然后利用同角三角函数的基本关系及角的范围，求出，把的
3、值代入即可求出式子的值.详解：因为，所以，又，所以，所以，故答案为.点睛：该题考查的是有关弦的分式形式的式子的求值问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有诱导公式，同角三角函数关系式，利用题中的条件，求得的值，代入求得结果.5.用数学归纳法证明不等式的过程中，由“”到“”时，左边增加了_项【答案】.【解析】分析：分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当时，左边，由此将其对时的式子进行对比，得到结果.详解：当时，左边，当时，左边，观察可知，增加的项数是，故答案是.点睛：该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中
4、的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.6.等比数列的前项和为，已知成等差数列，则等比数列的公比为_【答案】【解析】由，成等差数列得，即则所以。7.方程在区间内解的个数是_【答案】4.【解析】分析：通过二倍角公式化简得到，进而推断或，进而求得结果.详解：，所以或，因为，所以或或或，故解的个数是4.点睛：该题考查的是有关方程解的个数问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦的倍角公式，方程的求解问题，注意一定不要两边除以，最后求得结果.8.如图，边长为正方形的边上有一个动点，则_【答案】1.【解析】分析：首先根据题意，得到，借助于向量的平方等于向量模的平方以及两个互相垂直的向量的数量积等于零
5、，得到结果.详解：根据题意，结合图形，可知，故答案是1.点睛：该题考查的是有关向量的数量积的求解问题，该题应用的是将向量转化，应用公式求得结果，还可以应用定义式，得到向量的数量积等于模乘投影，求得结果.9.若数列的通项公式的前项和为，则_【答案】.【解析】分析：利用无穷等比数列的求和公式，即可求得结果.详解：因为数列的通项公式是，前项和为，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关无穷递缩等比数列的各项和的问题，注意公式的应用，以及注意对前两项应该独立运算，注意对应的首项应该是多少，保证正确性.10.当时，函数与函数只有一个交点，则的取值范围是_【答案】.【解析】分析：构造函数，画出函数的图像，借
6、助于图像分析函数的图像与直线有一个交点时的取值范围，从而可得结果.详解：令，则函数的图像如下图所示：有图可得，当或时，直线与的图像只有一个交点，故的取值范围是.点睛：该题考查的是有关曲线与直线的交点问题，解决问题的方法是结合图像来完成，注意需要正确使用公式.11.如图，在中，为上不同于的任意一点，点满足，若,则的最小值为_【答案】.【解析】分析：首先结合题中的条件，得到，进一步求得，根据从同一个点出发的三个向量，其中一个用另两个来表示，三个向量的终点共线时，满足系数和等于1，即，得到，之后代换，结合二次函数的最值来解决，配方即可求得结果.详解：根据题意，可知，从而可求得，根据三点共线，可得，即
7、，所以，故其最小值为.点睛：该题考查的是有关向量的基本定理的问题，以及相关的系数所满足的条件以及对应的结论，注意将式子转化为二次函数，配方法求得结果.12.数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列；有如下运算结论：；数列是等比数列；数列的前项和为；若存在正整数，使得，则，其中正确的结论是_（将你认为正确的结论序号都填上）【答案】.【解析】分析：根据题中所给的条件，将数列的项逐个写出，可以求得，将数列的各项求出，可以发现其为等差数列，故不是等比数列，利用求和公式求得结果，结合条件，去挖掘条件，最后得到正确的结果.详解：对于，前24项构成的数列是，所以，故正确；对于，数列是，可知其为等差数列，不
8、是等比数列，故不正确；对于，由上边结论可知是以为首项，以为公比的等比数列，所以有，故正确；对于，由知，即，解得，且，故正确；故答案是.点睛：该题考查的是有关数列的性质以及对应量的运算，解题的思想是观察数列的通项公式，理解项与和的关系，认真分析，仔细求解，从而求得结果.选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。13.设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】即中至少有一个是零；复数为纯虚数，故为小范围
9、，故为必要不充分条件.14.给出下列四个命题：（1）异面直线是指空间两条既不平行也不相交的直线；（2）若直线上有两点到平面的距离相等，则；（3）若直线与平面内无穷多条直线都垂直，则；（4）两条异面直线中的一条垂直于平面，则另一条必定不垂直于平面.其中正确命题的个数是 （ ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】C【解析】分析：(1)根据空间直线与直线位置关系的分类，可得其真假；(2)根据两点再平面同侧，两点再平面异侧，两点都在平面上，分别进行讨论，由此得出结果；(3)由线面垂直的定义可得线面的关系；(4)由线面垂直的性质可得结果.详解：对于（1）由异面直线的定义，异面直线是指空
10、间既不平行又不相交的直线，故（1）正确；对于（2）直线上有两点到平面的距离相等，如果两点在平面的同侧，则，如果两点在平面的异侧，则与相交，如果两点都在平面上，则，故（2）错误；对于（3）若直线与平面内无穷多条直线都垂直，可得直线与平面可以平行，可以斜交，也可以垂直，所以（3）错误；对于（4）两条异面直线中的一条垂直于平面，因为另一条直线也和平面垂直，两条直线就会平行，与异面矛盾，则则另一条必定不垂直于平面，故（4）正确；故答案是C.点睛：该题考查的是有关空间关系的命题的真假判断问题，在解题的过程中，注意对线线关系、线面关系非常明确，对基础知识牢固掌握.15.从装有个不同小球的口袋中取出个小球（
11、），共有种取法。在这种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有种取法。显然，即有等式：成立。试根据上述想法，下面式子（其中）应等于 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：从装有个不同小球的口袋中取出个小球（），共有种取法。在这种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，第二类是某指定的小球被取到，即有等式：成立，题中的式子表示的是从装有个球中取出个球的不同取法数，从而得到选项.详解：在中，从第一项到最后一项分别表示：从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和，故答案为：从装有个球中取出个
12、球的不同取法数，故选A.点睛：该题考查的是有关球的取法问题，涉及到的是有关组合数的性质，认真分析题中式子的关系，最后求得结果.16.除以的余数是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用二项式定理化简，求出展开式的后2项，即可得到除以100的余数，从而求得结果.详解： ，即除以100的余数为41，故选B.点睛：该题考查的是有关应用二项式定理求解余数问题，注意对指数幂中的底数的转化，之后应用二项式定理展开，研究项的关系，得到结果.三、解答题（本大题满分分）本大题共有题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知， ，且与的夹角为.（1）求在上的投影；
13、（2）求.【答案】(1)-2.(2) .【解析】分析：(1)根据题中所给的条件，利用向量的数量积的定义式，求得，之后应用投影公式，在上的投影为，求得结果；(2)应用向量模的平方等于向量的平方，之后应用公式求得结果.详解：（1）在上的投影为（2）因为， ，且与的夹角为所以所以点睛：该题考查的是有关向量的投影以及向量模的计算问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量的数量积的定义式，投影公式，向量模的平方和向量的平方是相等的，灵活运用公式求得结果.18.已知函数，其中为常数。（1）求函数的周期；（2）如果的最小值为，求的值，并求此时的最大值及图像的对称轴方程.【答案】(1) .(2) 最大值为,对
14、称轴方程为.【解析】试题分析：（1）研究三角函数性质，首先将其化为基本三角函数，即化为形如：，由倍角公式，降幂公式及配角公式得：，然后利用基本三角函数性质进行求解，即（2）由的最小值为，得，因此最大值为对称轴方程满足:,即：.试题解析：解（1） 4分. 6分（2）的最小值为，所以故8分所以函数.最大值等于4 10分，即时函数有最大值或最小值，故函数的图象的对称轴方程为. 14分考点：三角函数性质，三角函数式化简19.某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为，墙的长度为米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记.（1）若，求的周长（结果精确到0.01米）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积，的面积尽可能大，当为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积.【答案】(1) 米. (2) 当且仅当时等号成立，此时为等边三角形，.【解析】分析：(1)在中，由正弦定理可得，即可求的周长；(2)利用余弦定理列出关系式，将的值代入并利用基本不等式求出的最大值，利用三角形的面积公式求出面积的最大值，以及此时的值.详解：（1）在中，有正弦定理可得，,的周长为米.（2）在中，有余弦定理得当且仅当时等号成立，此时为等边三角形，.点
