《《课时讲练通》2017-2018学年高中数学（人教a版）必修一配套课件：3.2.2.1一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《课时讲练通》2017-2018学年高中数学（人教a版）必修一配套课件：3.2.2.1一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例 （50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2.2 函数模型的应用实例 第1课时 一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例,类型一 一次函数模型的应用实例 【典例1】(1)(2017宜昌高一检测)三峡工程在6月1日至6月10日下闸期间,水库水位由106米升到135米,高峡平湖初现人间.假设水库水位匀速上升,那么下列的图象中,能正确反映这10天水位h(米)随时间t(天)变化的是 ( ),(2)(2017开封高一检测)WAP手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费,超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费,假如上网时间过短,使用量在1分钟以下不计费,在1分钟以上(包括1分钟)按0
2、.5元/分钟计费,WAP手机上网不收通话费和漫游费.,12月份小王WAP手机上网使用量20小时,要付多少钱? 小舟10月份付了90元的WAP手机上网费,那么他上网时间是多少? 电脑上网费包月60元/月,根据时间长短,你会选择哪种方式上网呢?,【解题指南】(1)抓住题中的关键点“匀速”,结合实际问题进行判断. (2)根据上网时间不同建立一个与一次函数有关的分段函数模型,进而解决实际问题.,【解析】(1)选B.因为水位匀速上升,其图象是直线,再由起始位置106米可知B正确. (2)设上网时间为x分钟,由已知条件知所付费用y关于x的函数解析式为 y=,当x=2060=1200,即x500时, 应付y
3、=30+0.15(1200-500)=135(元). 90元已超过30元,所以上网时间超过500分钟,由30+0.15(x-500)=90可得,上网时间为900分钟.,令60=30+0.15(x-500),解得x=700. 故当一个月经常上网(一个月使用量超过700分钟)时选择电脑上网,而当短时间上网(一个月使用量不超过700分钟)时选择WAP手机上网.,【方法总结】一次函数模型的特点和求解方法 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线. (2)解一次函数模型时,注意待定系数法的应用,主要步骤是:设元、列式、求解.,【拓展延伸】对一次函数解析式的三点说明 解析式:y=kx+b(k0).
4、(1)一次项的系数k0. (2)b=0时,y是x的正比例函数,即y=kx(k为非零常数). (3)b0时,直线必经过一、二象限;b=0时,直线必经过原点;b0时,直线必经过三、四象限.,【巩固训练】(2017南京高一检测)甲厂以x千克/小 时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1x10), 每小时可获得的利润是100 元.,(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围. (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.,【解析】(1)根据题意200 30005x-14- 0, 又1x10,可解得3x10. (2)设利润为y元,则
5、y= 100 =9 104 ,故x=6时,ymax=457500. 所以甲厂应该选取6千克/小时的生产速度,最大利润为457500元.,【补偿训练】某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台,现销售给A地10台,B地8台.已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元,从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元.,(1)设从乙地调运x台至A地,求总运费y关于x的函数关系式. (2)若总运费不超过9000元,问共有几种调运方案? (3)求出总运费最低的调运方案及最低的费用.,【解析】由甲、乙两地调运至A,B两地的机器台数及费用列表如下:,(1)依题意,得y
6、=400(10-x)+80012-(10-x)+300x +500(6-x), 即y=200(x+43)(0x6,xZ). (2)由y9000,解得x2. 因为xZ,0x6,所以x=0,1,2. 所以共有三种调运方案.,(3)由一次函数的单调性知,当x=0时,总运费y最低,ymin=8600元,即从乙地调6台给B地,甲地调10台给A地、调2台给B地的调运方案总运费最低,最低运费为8600元.,类型二 二次函数模型的应用实例 【典例2】(2016太原高一检测)牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际蓄养量不能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲率.已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量
7、x只与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k0).,(1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域. (2)求羊群年增长量的最大值. (3)当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.,【解题指南】(1)根据成正比,比例系数为k,利用待定系数法列出函数关系式. (2)根据得到的函数关系式寻找求最值的方法. (3)根据函数的定义域列不等式求k的取值范围.,【解析】(1)据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养 量为x只,则蓄养率为 ,故空闲率为1- , 由此可得y=kx (0xm). (2)对原二次函数配方,得y=- (x2-mx) 即当x= 时,y取得最大值 .,(3)由题意知为给羊群留
8、有一定的生长空间,则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量,即00,所以0k2.,【延伸探究】 1.若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”,又如何表示出y关于x的函数关系式?,【解析】据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为 x只,则蓄养率为 ,故空闲率为1- ,因为羊群的年 增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成反比,由 此可得y= (0xm).,2.若本例牧场中羊群的最大蓄养量为10000只,实际蓄养量为8000只,比例系数为k=1,则此时的年增长量为多少?,【解析】由题意,可知y=kx (0xm),此时 m=10000,x=8000,k=1,代入计算可得y=
9、18000 =1600.故此时羊群的年增长量为1600只.,【方法总结】解决二次函数模型应用题的四个步骤 (1)审题:理解题意,设定变量x,y. (2)建模:建立二次函数关系,并注明定义域. (3)解模:运用二次函数相关知识求解. (4)结论:回归到应用问题中去,给出答案.,类型三 幂函数模型的应用实例 【典例3】(1)按复利计算利率的储蓄,存入银行5万元,年息为6%,利息税为20%,4年后支取,可得利息为人民币 ( ) A.5(1+0.06)4万元 B.(5+0.06)4万元 C.4(1+0.06)4-1万元 D.4(1+0.06)3-1万元,(2)(2017齐齐哈尔高一检测)某林区2010
10、年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁采伐等措施,使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%. 若经过x年后,该林区的木材蓄积量为y万立方米,求y=f(x)的表达式,并求此函数的定义域; 求经过多少年后,该林区的木材蓄积量能达到300万立方米?,【解题指南】(1)根据年息不变,可以列出幂函数关系式,再扣除利息税即可. (2)根据题意,逐年列出关系式,从中寻找一般规律.,【解析】(1)选C.由已知4年利息和为5(1+6%)4-5, 扣去20%的利息税,余5(1+6%)4-1(1-20%)= 4(1+6%)4-1. (2)现有木材蓄积量为200万立方米. 经过1年后木材蓄积量为: 200
11、+2005%=200(1+5%). 经过2年后木材蓄积量为:,200(1+5%)+200(1+5%)5%=200(1+5%)2. 所以经过x年后木材蓄积量为:200(1+5%)x. 所以y=f(x)=200(1+5%)x(xN*). 由200(1+5%)x=300得1.05x=1.5, 两边取常用对数得xlg1.05=lg1.5, 所以x= 9(年). 所以经过9年后,木材蓄积量能达到300万立方米.,【方法总结】幂函数模型解析式的两种类型及求解方法 (1)已知函数解析式形式:用待定系数法求解. (2)解析式形式未知:审清题意,弄清常量、变量等各元素之间的关系,列出两个变量x,y之间的解析式,
12、进而解决问题.,【补偿训练】1.(2017福州高一检测)销售甲、乙两 种商品所得利润分别是y1,y2万元,它们与投入资金x万 元的关系分别为y1=m +a,y2=bx(其中m,a,b都为常 数),函数y1,y2对应的曲线C1,C2如图所示.,(1)求函数y1,y2的解析式. (2)若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品,求该商场所获利润的最大值.,【解析】(1)由题意 所以y1=2 -2(x0). 又由题意8b=4得b= ,所以y2= x(x0).,(2)设销售甲商品投入资金x万元,则销售乙商品投入(10-x)万元, 由(1)得y=2 -2+ (10-x)=2 - x+3(0x 10).
13、令 =t(1t ),则有x=t2-1,y=2t- (t2-1)+3=- t2+2t+ =- (t-2)2+ . 所以当t=2,即x=3时,所获利润为最大值,最大值为 万元.,2.(2017曲靖高一检测)某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路,该产品的广告效应y(单位:元)是产品的销售额与广告费x(单位:元)之间的差,如果销售额与广告费x的算术平方根成正比,根据对市场的抽样调查,每付出100元广告费,所得的销售额是1000元.,(1)求出广告效应y与广告费x之间的函数解析式. (2)该企业投入多少广告费才能获得最大的广告效应?是不是广告费投入越多越好?,【解题指南】(1)根据题意写出函数的解析
14、式并写出定义域. (2)用换元法将函数解析式转化为二次函数模型,求出能获得的最大广告效应.,【解析】(1)设销售额为t元,由题意知t=k ,x0, 又因为当x=100时,t=1000, 所以1000=k ,解得k=100. 所以t=100 ,所以y=100 -x, 所以广告效应y与广告费x之间的函数解析式为: y=100 -x(x0).,(2)令u= (u0),则x=u2, 所以y=100u-u2=-(u-50)2+2500, 所以u=50时,即x=2500时,y有最大值2500. 所以该企业投入2500元广告费时能获得最大的广告效应. 当u50,即x2500时,y逐渐减小,所以并不是广告费投入越多越好.,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 解应用题的基本思路,
