《《课时讲练通》2017-2018学年高中数学（人教a版）必修一配套课件：3.1.2用二分法求方程的近似解 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《课时讲练通》2017-2018学年高中数学（人教a版）必修一配套课件：3.1.2用二分法求方程的近似解 （49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.2 用二分法求方程的近似解,主题 二分法及二分法求函数零点的步骤 在一档娱乐节目中,主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格,若猜中了,就把物品奖给选手.某次竞猜的物品为价格在1000元之内的一款手机,选手开始报价,选手说“800”,主持人说“高了”;选手说“400”,主持人说“低了”.,1.如果是你,你知道接下来该如何竞猜吗? 提示:接下来应该猜“600”,即区间400,800的中点.,2.通过这种方法能猜到具体价格吗? 提示:可以,通过不断地缩小价格所在的区间,直至猜到手机的价格.,3.同样,上节课我们已经知道f(x)=lnx+2x-6的零点在区间(2,3)内,那么如何缩小零点所在区
2、间(2,3)呢? 提示:取区间(2,3)的中点x0=2.5,验证f(2)f(2.5)0是否成立,若成立,则函数f(x)的零点在区间(2,2.5)内,否则在(2.5,3)内.,结论: 1.二分法的定义 对于在区间a,b上_且_的函数 y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分 为二,使区间的_逐步逼近零点,进而得到零点 近似值的方法.,连续不断,f(a)f(b)0,两个端点,2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 (1)确定区间a,b,验证_,给定精确度. (2)求区间(a,b)的中点_.,f(a)f(b)0,c,(3)计算f(c): 若f(c)=0,则_就是函数的零点; 若
3、_,则令b=c(此时零点x0(_); 若f(c)f(b)0,则令_(此时零点x0(_).,c,f(a)f(c)0,a,c,a=c,c,b,(4)判断是否达到精确度:即|a-b|,则得到零点近 似值_;否则重复(2)(4).,a(或b),【微思考】 1.所有函数的零点都可以用二分法求出吗? 提示:不是,例如函数y=(x+ )2的零点- 就无法用二分法求出.,2.当|a-b|时,为什么说区间a,b内的任意实数x都可以作为零点x0的近似值? 提示:因为|x-x0|a-b|,所以以x作为零点x0的近似值满足精确度的要求.,3.用二分法如何求方程f(x)=g(x)在区间a,b上的近似解? 提示:构造:令
4、F(x)=f(x)-g(x); 定区间:确定区间a,b,使F(a)F(b)0; 求解:用二分法求F(x)在区间a,b上的零点的近似值.,【预习自测】 1.下列函数中,不能用二分法求零点的是 ( ),【解析】选B.观察图象与x轴的交点,若交点附近的函数图象连续且在交点两侧函数值符号相异,则可用二分法求零点.,2.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的零点时,其参考数据如下,据此数据,可得f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(精确度0.01)为 ( ) A.1.55 B.1.56 C.1.57 D.1.58 【解析】选B.根据零点存在性定理,可知只有f(1.5562)f(1.5625)0,所以
5、函数的零点必在区间(1.5562,1.5625),那么近似值是1.56.,3.已知f(x)=x3-3x,用二分法求方程f(x)=1的近似解时,在下列哪一个区间内至少有一解 ( ) A.(-3,-2) B.(0,1) C.(2,3) D.(-1,0),【解析】选D.令F(x)=f(x)-1=x3-3x-1.因为F(-1)= (-1)3+3-1=10,F(0)=-10,所以F(-1)F(0)0.,类型一 二分法的定义 【典例1】(1)(2017沧州高一检测)下列函数中不能用二分法求零点近似值的是 ( ) A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x3 C.f(x)=|x| D.f(x)=lnx,(2)
6、(2017唐山高一检测)利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:,那么方程2x=x2一定有一个根位于区间 ( ) A.(0.6,1.0) B.(1.4,1.8) C.(1.8,2.2) D.(2.6,3.0),【解题指南】(1)根据二分法判断函数零点的条件,即判断函数图象是否穿过x轴. (2)根据二分法判断零点的方法,看函数值之差在哪个区间内的符号相反.,【解析】(1)选C.对于选项C而言,令|x|=0,得x=0,即函数f(x)=|x|存在零点,但当x0时,f(x)0;当x0,所以f(x)=|x|的函数值非负,即函数f(x)=|x|有零点,但零点两侧函数值同号,所以不能用二分法求零点的近
7、似值.,(2)选C.判断函数f(x)=2x-x2在各个区间两端点的符号, 若满足条件f(a)f(b)0,f(1.0)=2.0-1.00, 故排除A;由于f(1.4)2.639-1.960,f(1.8)3.482- 3.240,故排除B;由于f(1.8)3.482-3.240,f(2.2) 4.595-4.840,故可确定方程2x=x2一定有一个根位于 区间(1.8,2.2).,【方法总结】利用二分法求函数零点必须满足的两个条件 (1)图象:函数图象在零点附近是连续不断的. (2)函数值:函数在该点两侧的函数值符号相反.,【巩固训练】1.如图所示,下列函数的图象与x轴均有交点,但不能用二分法求交
8、点横坐标的是 ( ),2.用二分法求方程f(x)=0在(1,2)内近似解的过程中得到f(1)0,f(1.25)0,则方程的根所在的区间为( ) A.(1.25,1.5) B.(1,1.25) C.(1.5,2) D.不能确定,【解题指南】1.观察所给函数的图象,根据图象特点判断能否利用二分法求交点横坐标. 2.按照二分法判断零点的方法,看函数值在哪个区间内符号相反.,【解析】1.选A.因A不满足二分法的条件,在零点的两侧函数值都是正值,故应选A. 2.选A.由题意知f(1.25)f(1.5)0,所以方程的根在区间(1.25,1.5)内,故选A.,【补偿训练】已知函数f(x)的图象如图,其中零点
9、的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为( ) A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3,【解析】选D.图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左右函数值异号的零点有3个,所以可以用二分法求解的零点个数为3,故选D.,类型二 用二分法求方程的近似解 【典例2】(2017冷水江高一检测)某方程在区间D=(2,4)内有一无理根,若用二分法求此根的近似值,要使所得的近似值的精确度达到0.1,则应将区间D等分的次数至少是_.,【解题指南】根据二分法的步骤,逐步判断,直到达到精确度要求,从而得出等分次数.,【解析】本题考查二分法求方程的近似解.第一次等分, 则根在区间(2,3)内或(3,4)内
10、,此时精确度0.1;不 妨设根在(2,3)内,第二次等分,则根在区间(2,2.5)内 或(2.5,3)内,此时精确度0.1;不妨设根在(2,2.5) 内,第三次等分,则根在区间(2,2.25)内或(2.25,2.5),内,此时精确度0.1;不妨设根在(2,2.25)内,第四次等分,则根在区间(2,2.125)内或(2.125,2.25)内,此时精确度0.1;不妨设根在(2,2.125)内,第五次等分,则根在区间(2,2.0625)内或(2.0625,2.125)内,此时精确度0.1.满足题目要求,故至少要等分5次. 答案:5次,【方法总结】利用二分法求方程近似解的过程步骤,【巩固训练】用二分法
11、求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解.(精确度0.1) 【解题指南】构造函数f(x)=2x3+3x-3,利用零点的存在性定理找出函数f(x)的正零点所在的区间,然后利用二分法求该函数的近似零点,即为原方程的近似解.,【解析】令f(x)=2x3+3x-3,经计算,f(0)=-30,f(0)f(1)0,所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解.如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间,如表:,由于|0.6875-0.75|=0.06250.1,所以0.75可作为方程的一个正实数近似解.,拓展类型:二分法的实际应用 【典例】2017年1月18日,意大利中部发生4次5级以上地震.地
12、震发生后,停水断电,交通受阻.已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障),这是一条10km长的线路,每隔50m有一根电线杆,如何迅速查出故障所在?,【解题指南】可以参照二分法求函数零点近似值的方法,以减少工作量并节省时间.,【解析】如图,可首先从中点C开始检查,若AC段正常,则故障在BC段;再从BC段中点D检查,若CD段正常,则故障在BD段;再从BD段中点E检查,如此这般,每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半,经过7次查找,即可将故障范围缩小到50100m之间,即可迅速找到故障所在.,【方法总结】(1)现实生活中,有很多问题可以用二分法来求解,例如线路断路、地下管道的堵塞、水管的泄露等故障的查找,实验设计,资料查询等. (2)通过实际情景抽象出函数,将实际问题转化为用二分法求函数的最值.,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 (1)化归思想:把求方程f(x)=0的近似解转化为求函数y=f(x)的近似零点. (2)逼近思想:二分法是求函数零点的一种常用方法,是“逐步逼近”的数学思想的应用.,
