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1、随堂巩固训练(8) 1. 已知函数f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x32x1，则当x0时，f(x)的解析式为_f(x)x32x1_解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)当x0.因为当x0时，f(x)x32x1，所以f(x)(x)32x1x32x1，所以f(x)x32x1，所以f(x)x32x1. 2. 下列四个结论：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)0(xR)其中结论正确的个数是_1_解析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，错误，正确；奇函数关于原点对称，但不一定经过原点，错误
2、；若yf(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)0，但不一定xR，只要定义域关于原点对称即可，错误 3. 已知定义在R上的函数f(x)，对任意xR都有f(x3)f(x)，当x(3，0)时，f(x)3x，则f(2 018)_解析：由题意，得f(x)是周期为3的函数，所以f(2 018)f(36731)f(1)因为当x(3，0)时，f(x)3x，所以f(2 018)f(1)31. 4. 定义两种运算：ab，ab，则函数f(x)是_奇_函数(填“奇”或“偶”)解析：由题意，得f(x)，由4x20且20，得2x0或00，且a1)若g(2)a，则f(2)_解析：由题意得f(2)f(2)，g(2)g
3、(2)，由已知f(2)g(2)a2a22，f(2)g(2)f(2)g(2)a2a22，由解得g(2)2a，f(2)a2a2. 6. 已知yf(x)是奇函数，若g(x)f(x)2且g(1)1，则g(1)_3_解析：由g(1)f(1)21，得f(1)1.因为函数f(x)是奇函数，所以f(1)f(1)，所以g(1)f(1)2f(1)23. 7. 已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是_解析：偶函数f(x)f(|x|)，所以f(2x1)f，即f(|2x1|)f.又函数f(x)在区间0，)上单调递增，所以|2x1|，解得x0恒成立，则实数b的取值范围是_(，1)(
4、2，)_解析：由题意，得函数f(x)图象的对称轴为直线x1，即a2.因为对称轴为直线x1，且图象开口向下，所以函数f(x)在区间1，1上是单调增函数又f(x)0恒成立，则f(x)minf(1)b2b20，解得b2，故实数b的取值范围是(，1)(2，) 9. 对于函数yf(x)(xR)，给出下列命题：在同一平面直角坐标系中，函数yf(1x)与yf(x1)的图象关于直线x0对称；若f(1x)f(x1)，则函数yf(x)的图象关于直线x1对称；若f(1x)f(x1)，则函数yf(x)是周期函数；若f(1x)f(x1)，则函数yf(x)的图象关于点(0，0)对称其中正确命题的序号是_解析：yf(1x)
5、与yf(x1)的图象关于直线x1对称，错；函数yf(x)的图象关于直线x0对称，错；若f(1x)f(x1)，则f(x2)f(x1)1f(x11)f(x)，函数yf(x)是周期为2的函数，正确；由f(1x)f(x1)可得f(t)f(t)，函数f(x)为奇函数，即图象关于点(0，0)对称，正确10. 设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_2_解析：f(x)1.设g(x)，因为g(x)g(x)，所以g(x)为奇函数由奇函数图象的对称知g(x)maxg(x)min0，所以Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.11. 设函数f(x)(a0，b0)(1) 当ab2
6、时，求证：函数f(x)不是奇函数；(2) 设函数f(x)是奇函数，求a与b的值；(3) 在(2)条件下，判断并证明函数f(x)的单调性，并求不等式f(x)的解集解析：(1) 当ab2时，f(x)，所以f(1)，f(1)0，所以f(1)f(1)，所以函数f(x)不是奇函数(2) 由函数f(x)是奇函数，得f(x)f(x)，即对定义域内任意实数x都成立，化简整理得(2ab)22x(2ab4)2x(2ab)0对定义域内任意实数x都成立，所以解得或因为a0，b0，所以经检验符合题意故a与b的值分别为1，2.(3) 由(2)可知f(x)(1)设x1，x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)(1)(1)
7、.因为x1x2，所以02x1f(x2)，所以函数f(x)在R上是减函数由f(1)，f(x)，得f(x)f(1)由函数f(x)在R上是减函数可得x的解集为(，1)12. (1) 已知函数f(x)的定义域为x|xR且x0，且2f(x)fx，试判断函数f(x)的奇偶性；(2) 已知函数f(x)的定义域为R，且对于一切实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性解析：(1) 因为函数f(x)的定义域为x|xR且x0，且2f(x)fx，所以2ff(x).由解得f(x).因为定义域为x|xR且x0，关于原点对称，f(x)f(x)，所以函数f(x)是奇函数(2) 因为定义域关于原点对
8、称，令xy0得f(0)f(0)f(0)，则f(0)0.令yx得f(0)f(x)f(x)，所以f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数13. 已知函数f(x)是定义在(，0)(0，)上的函数，对定义域上的任意x1，x2，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0，f(2)1.(1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 求证：函数f(x)在区间(0，)上是增函数；(3) 解不等式：f(2x21)x20，则f(x1)f(x2)ff(x2)f(x2)ff(x2)f.因为x1x20，所以1.因为当x1时，f(x)0，所以f0，所以f(x1)f(x2)0，所以函数f(x)在区间(0，)上是增函数(3) 令x1x22，所以f(22)f(2)f(2)2，所以f(4)2.因为f(2x21)2f(4)，且函数f(x)是偶函数，在区间(0，)上是增函数，所以解得x且x.
