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1、随堂巩固训练(47) 1. 已知椭圆1(ab0)的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，使OPF1为正三角形，则椭圆的离心率为_1_解析：设F1为椭圆的左焦点，则由题意得，点P横坐标为，所以点P到左准线的距离d.因为OPF1的边长为c，所以e，解得e1或e1(舍去)，故椭圆的离心率为1. 2. 已知椭圆y21的两个焦点分别为F1，F2，过点F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则PF2_解析：由题意知，a24，b21，所以c2a2b23，不妨设F1(，0)，将x代入椭圆的方程可得y21，所以y，所以PF1，PF22aPF14. 3. 过椭圆1(ab0)的右焦点F2作x轴的垂线交椭圆
2、于点P，F1为左焦点，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_1_解析：由题意可得PF2F1F22c，则PF12c，所以2c2c2a，即(22)c2a，e1. 4. 若椭圆1的离心率为，则实数m的值为_4或_解析：若焦点在x轴上，则8m9，即m1，a，b3，则c，所以e，解得m4；若焦点在y轴上，则8m9，即mb0)上一点，若PF1PF2，tanPF1F2，则此椭圆的离心率是_解析：由题意可知PF1F2为直角三角形，设PF1m，因为tanPF1F2，所以PF2，F1F2m，所以e. 7. 焦点在x轴上的椭圆的一个焦点到长轴两个端点的距离之比为，短轴长为8，则椭圆的标准方程为_1_解析：
3、由题意可得，2b8，a2b2c2，解得a5，b4，c3.因为椭圆焦点在x轴上，所以椭圆方程为1. 8. 已知椭圆y21的左、右焦点分别为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线，与椭圆的一个交点为P，则使得0的点M的概率为_解析：由题意得A1A22a4，b1，2c2，设点P(x0，y0)，当0时，(x0)(x0)y0，联立y1，解得x0.符合0的点M的横坐标在之间，故使得b0)的左、右焦点，若在直线x上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是_解析：设准线与x轴的交点为Q，连结PF2.因为PF1的中垂线过点F2，所以F1F2PF22c.因为Q
4、F2c，且PF2QF2，所以由2cc，可得2，即2ee，解得e，结合椭圆的离心率e(0，1)，得eb0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D.若ADF1B，则椭圆C的离心率等于_解析：因为ABx轴，所以D为F1B的中点，且AF2.又ADF1B，所以AF1AB，所以2a，所以，e21，所以e.11. 椭圆ax2by21与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB2，OC所在直线的斜率为，求椭圆的方程解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.而1，kO
5、C，代入上式可得ba.联立方程组化简得(ab)x22bxb10，所以x1x2，x1x2.因为AB|x2x1|x2x1|2，所以44，将ba代入得a，所以b，所以所求椭圆的方程是1.12. 设椭圆E的方程为1(ab0)，O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足BM2MA，直线OM的斜率为.(1) 求椭圆E的离心率；(2) 设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求椭圆E的方程解析：(1) 由题设条件知，点M的坐标为.又kOM，则，所以ab，c2b，故e.(2) 由题意得直线AB的方程为1，点N的坐标为.设N关于直
6、线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为(，)又点T在直线AB上，且kNSkAB1，则解得b3，所以a3，故椭圆E的方程为1.13. 设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点P(a，b)满足PF2F1 F2.(1) 求椭圆的离心率；(2) 设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x1)2(y)216相交于M，N两点，且MNAB，求椭圆的方程解析：(1) 设点F1(c，0)，F2(c，0)(c0)，因为PF2F1F2，所以2c，整理得210，解得1(舍)或，所以e.(2) 由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc)A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0，解得x10或x2c，所以方程组的解 或不妨设A，B(0，c)，所以ABc，则MNAB2c.圆心(1，)到直线PF2的距离d.因为d242，所以(2c)2c216，整理得7c212c520，解得c(舍)或c2，所以椭圆方程为1.
