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1、随堂巩固训练(56) 1. 已知向量a(1，2)，b(x，2)，且a(ab)，则实数x9. 解析：由题意得ab(1x，4).因为a(ab)，所以(1x，4)(1，2)0，即1x80，解得x9. 2. 已知点A(1，2)，若与a(2，3)同向，且|2，则点B的坐标为(5，4).解析：设点B的坐标为(x，y)，则(x1，y2).因为与a同向，所以可设a(0)，即(x1，y2)(2，3)，所以即又因为|2，所以(x1)2(y2)2(2)2(3)2(2)2，解得2或2(舍去)，所以x5，y4，所以点B的坐标为(5，4). 3. 已知点A(1，0)，B(0，2)，C(1，2)，则以A，B，C为顶点的平行
2、四边形的第四个顶点D的坐标为(0，4)或(2，4)或(2，0).解析：设顶点D的坐标为(x，y)，如下图所示.若平行四边形为ABCD1，则.因为(1，2)，(1x，2y)，所以解得即点D1(0，4)；若平行四边形为AD2BC，则.因为(x1，y)，(1，4)，所以解得即点D2(2，4)；若平行四边形为ABD3C，则.因为(2，2)，(x，y2)，所以解得即点D3(2，0).综上，点D的坐标为(0，4)或(2，4)或(2，0). 4. 已知e1与e2是两个不共线的向量，3e12e2，2e15e2，e1e2.若A，B，D三点共线，则8.解析：由题意得e1e2(2e15e2)(2)e14e2.因为A
3、，B，D三点共线，所以存在实数k，使得k，所以3e12e2k(2)e14e2，所以解得 5. 已知D是ABC所在平面内一点，且满足()()0，则ABC的形状是等腰三角形.解析：()()()0，所以，所以acos Bbcos A，利用余弦定理化简得a2b2，即ab，所以ABC是等腰三角形. 6. 已知平面向量a(2m1，3)，b(2，m)，且a与b反向，则|b|2. 解析：因为a与b反向，所以a与b共线，所以m(2m1)230，解得m2或m.当m2时，a(3，3)，b(2，2)，a与b反向，此时|b|2；当m时，a(4，3)，b，a与b同向，不合题意. 7. 设(1，2)，(a，1)，(b，0)
4、(其中a0，b0)，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则ab的最大值是.解析：(a1，1)，(ba，1).因为A，B，C三点共线，所以，所以a1ba，即2ab1.因为a0，b0，所以12ab2，即ab，当且仅当2ab，即a，b时等号成立，故ab的最大值为. 8. 在ABC中，已知a、b、c分别为角A、B、C所对的边，S为ABC的面积.若向量p(4，a2b2c2)，q(，S)，且满足pq，则C.解析：由pq得4S(a2b2c2)，则S(a2b2c2).由余弦定理得，cosC，所以S2abcosC.又SabsinC，所以2abcosCabsinC，所以tanC.又C(0，)，所以C. 9. 设(
5、2，5)，(3，1)，(6，3)，在线段OC上存在点M，使MAMB，则点M的坐标为(2，1)或.解析：设t，t0，1，则(6t，3t)，即点M的坐标为(6t，3t).因为(26t，53t)，(36t，13t).因为MAMB，所以(26t，53t)(36t，13t)0，即45t248t110，解得t或t，故点M的坐标为(2，1)或.10. 已知O、A、B三点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(0，3)，且点P在线段AB上，t(0t1)，则的最大值为9.解析：()(t)t()(1t)|2t9(1t).因为0t1，所以的最大值为9.11. 已知a(1，2sin)，b.(1) 若ab，且R，求
6、tan的值；(2) 若ab，且，求的值.解析：(1) 因为ab，所以ab0，所以2sinsin0，即sincos0.若cos 0，则显然不合题意，所以cos0，所以tan. (2) 由ab，得2sinsin1，即(1cos2)sin21，整理得sin.又，所以2，所以2，即. 12. 在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，且m，n，其中m，n(0，1).设EF的中点为M，BC的中点为N.(1) 若A，M，N三点共线，求证：mn；(2) 若mn1，求|的最小值.解析：(1) 由A，M，N三点共线，得，设(0，1)，即()()，故mn()，从而mn.(2) 因为()()(1
7、m)(1n)，mn1，所以(1m)m，所以|2(1m)2|2m2|2m(1m)(1m)2m2m(1m)，m(0，1)，故当m时，|min.13. 已知|a|，ab5，cxa(1x)b.(1) 当bc时，求实数x的值；(2) 当|c|取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值.解析：(1) 因为bc，所以bcbxa(1x)bxba(1x)b25x5(1x)0，解得x. (2) 因为c2xa(1x)b2x2a22x(1x) ab(1x)2b210x210x(1x)5(x1)225x220x5251，所以当x时，c2取得最小值为1，即当|c|取得最小值1时，cab，所以acaa2ab10(5)1.设向量a，c的夹角为，则cos.
