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1、随堂巩固训练(71) 1. 若，l，m，n，ml，则直线m，n所成的角是90.解析：因为l，m，ml，所以m.又因为n，所以mn，所以直线m，n所成的角是90. 2. 如果个平面与另个平面的垂线平行，那么这两个平面的位置关系为垂直.解析：由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理可知，如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面垂直. 3. 设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是.(填序号)若，a，则a；若，a，则a；若ab，a，b，则.解析：若，a，则a与相交、平行或a，故错误；若，a，则a或a，故错误；若ab，a，则ba或b.又因为b，所以，故正确. 4. 设a
2、，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出ab的是.(填序号)a，b，；a，b，；a，b，； a，b，.解析：对于，若a，b，则直线a与b的关系可能是平行、相交或异面；对于，若a，b，则ab；对于，若a，b，则b，所以ab；对于，若a，b，则a与b可能平行、相交或异面.综上，由可得ab. 5. 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，连结PB、PC、PD、AC、BD，则下列垂直关系中正确的序号是.平面PAB平面PBC；平面PAB平面PAD；平面PAB平面PCD.解析：因为PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC.又在正方形ABCD中，BCAB，ABPAA，所以BC平面PAB.又因
3、为BC平面PBC，所以平面PAB平面PBC，故正确；同理可得AD平面PAB，AD平面PAD，所以平面PAD平面PAB，故正确；设平面PAB平面PCDl，因为ABCD，AB平面PAB，CD平面PAB，所以CD平面PAB，所以CDl.又因为AB平面PAD，所以l平面PAD，所以APD为平面PAB与平面PCD所成的二面角.若平面PAB平面PCD，则APPD，显然不成立，故错误. 6. 可以作为平面平面的条件是.(填序号)存在一条直线a，a，a；存在一条直线a，a，a；存在两条平行直线a，b，a，b，a，b；存在两条异面直线a，b，a，b，a，b.解析：因为a，所以平面中存在aa.因为b，所以平面内存
4、在b，使得bb，且a与b相交，a与b相交，所以. 7. 已知P为ABC所在平面外一点，正三角形PBC、正三角形ABC的边长都为2，PA，则平面PBC和平面ABC的位置关系为垂直.解析：取BC的中点为D，连结AD，PD，如图所示.因为PBPC，BDCD，所以PDBC.因为正三角形PBC和正三角形ABC的边长都为2，PA，所以PDAD，所以PA2AD2PD2，所以PDAD.又因为BCADD，所以PD平面ABC.又因为PD平面PBC，所以平面PBC平面ABC. 8. 设b，c表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，下列命题中真命题是.(填序号)若b，c，则bc； 若b，bc，则c；若c，则c； 若c
5、，c，则.解析：若b，c，则bc或b与c异面，故错误；若b，bc，则c或c，故错误；若c，则可能c，可能c，故错误；根据面面垂直的判定可知是真命题. 9. 已知，是三个不同的平面，命题“，且”是真命题，如果把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题的个数为2.解析：若，换为直线a，b，则命题化为“ab，且ab”，此命题为真命题；若，换为直线a，b，则命题化为“a，且abb”，此命题为假命题；若，换为直线a，b，则命题化为“a，且bab”，此命题为真命题，故真命题有2个.10. 已知点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：三棱锥AD
6、1PC的体积不变；A1P平面ACD1；DPBC1；平面PDB1平面ACD1.其中正确命题的序号是.解析：由题意知AD1BC1，因为AD1平面AD1C，BC1平面AD1C，所以BC1平面AD1C，所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以VAD1PCVPAD1CVBAD1C，故正确；对于，连结A1B，A1C1，则A1C1AC，由知AD1BC1，所以平面BA1C1平面ACD1.因为A1P平面A1BC1，所以A1P平面ACD1，故正确；对于，因为DC平面BCC1B1，所以DCBC1.若DPBC1，则BC1平面DCP，则BC1PC，所以P为BC1的中点，与P为动点矛盾，故错误；对于，连结DB
7、1，因为AC平面BB1D1D，DB1平面BB1D1D，所以ACDB1，同理可得AD1DB1.又因为AD1ACA，AD1，AC平面ACD1，所以DB1平面ACD1.又因为DB1平面PDB1，所以平面PDB1平面ACD1，故正确.11. 如图，已知在斜三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D为线段BC的中点. (1) 求证：A1B平面ADC1；(2) 若平面ABC平面BCC1B1，求证：ADDC1.解析：(1) 连结A1C交AC1于点E，连结DE.因为四边形AA1C1C是平行四边形，所以E是A1C的中点.因为D是BC的中点，所以DEA1B.又因为DE平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B平面
8、ADC1.(2) 因为在ABC中，ABAC，D为BC的中点，所以ADBC.又因为平面ABC平面BCC1B1，平面ABC平面BCC1B1BC，AD平面ABC，所以AD平面BCC1B1.因为DC1平面BCC1B1，所以ADDC1.12. 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E，F分别是CD，PC的中点.求证：(1) PA底面ABCD；(2) BE平面PAD；(3) 平面BEF平面PCD.解析：(1) 因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PAAD，PA平面PAD，所以PA底面ABCD.(2) 因为ABCD，CD2AB，E为
9、CD的中点，所以ABDE且ABDE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3) 因为ABAD，所以四边形ABED为矩形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，则PACD，又PAADA，所以CD平面PAD，所以CDPD.又E，F分别为CD，CP的中点，所以EFPD，故CDEF.因为EF，BE平面BEF，且EFBEE，所以CD平面BEF.又因为CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.思维升华：(1) 判定面面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a).(2) 在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化
10、.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.13. 如图，已知在矩形ABCD中，AB10，BC6，沿矩形的对角线BD把ABD折起，使得点A 移到点A1，且点A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上.求证：(1) BCA1D；(2) 平面A1BC平面A1BD.解析：(1) 因为点A1在平面BCD上的射影O在CD上，所以A1O平面BCD.又BC平面BCD，所以BCA1O.又BCCD，A1OCDO，所以BC平面A1CD.又A1D平面A1CD，所以BCA1D.(2) 因为四边形ABCD为矩形，所以A1BA1D.由(1)知BCA1D，A1BBCB，A1B，BC平面A1BC，所以A1D平面A1BC.又A1D平面A1BD，所以平面A1BC平面A1BD.
