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1、4 曲线与方程,4.1 曲线与方程,一,二,思考辨析,一、曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,那么,这条曲线叫作方程的曲线,这个方程叫作曲线的方程. 名师点拨“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念中包含了双重性,即纯粹性和完备性,所谓纯粹性,即曲线上点的坐标都是这个方程的解,所以要剔除曲线上不合题意的点;所谓完备性,即以方程的解为坐标的点都在曲线上,所以对方程进行变形时要注意等价变形,防止漏解.,一,二,思考辨析,表
2、示的是不在直线x+y+1=0的左下方且在圆x2+y2=4上的部分;表示的是直线x+y+1=0. 因此结合各选项可知C正确.,答案:C,一,二,思考辨析,二、点在曲线上的充要条件 如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0. 【做一做2】 求证:以坐标原点为圆心,以5为半径的圆的方程是x2+y2=25,并判断点M1(3,-4),M2(-3,2)是否在这个圆上.,由(1)(2)可知,方程x2+y2=25是以坐标原点为圆心,半径等于5的圆的方程. 分别将M1(3,-4),M2(-3,2)代入圆的方程检验可知,点M1在圆上,M2不在圆上.,一,
3、二,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)若以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则方程f(x,y)=0即为曲线C的方程. ( ) (2)若曲线C上的点满足方程F(x,y)=0,则坐标不满足方程F(x,y)=0的点不在曲线C上. ( ) (3)方程x+y-2=0是以A(2,0),B(0,2)为端点的线段的方程. ( ) (4)在求曲线方程时,对于同一条曲线,坐标系的建立不同,所得到的曲线方程也不一样. ( ) (5)化简方程“|x|=|y|”为“y=x”是恒等变形. ( ) (6)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验. ( ),探
4、究一,探究二,探究三,曲线与方程的概念 【例1】 (1)若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是正确的,则下列命题正确的是( ) A.方程f(x,y)=0的曲线是C B.方程f(x,y)=0的曲线不一定是C C.方程f(x,y)=0是曲线C的方程 D.以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上 (2)设方程f(x,y)=0的解集非空,如果命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,那么下列命题正确的是( ) A.坐标满足方程f(x,y)=0的点都不在曲线C上 B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x,y)=0 C.坐标满足方程f(x,y)=0的点有些
5、在曲线C上,有些不在曲线C上 D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0,探究一,探究二,探究三,解析:(1)本题重在考查曲线和方程的定义.只有正确地理解曲线与方程的定义,才能准确作答.易知A,C,D错误. (2)本题考查命题形式的等价转换.所给语句不正确,即“坐标满足方程f(x,y)=0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在,有的不在”两种情况,故A,C错,B显然错. 答案:(1)B (2)D 反思感悟判断曲线和方程的对应关系,必须注意两点: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”称为纯粹性; (2)以这个方程的解为坐标的点都在
6、曲线上,即直观地说“解不比点多”称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程.,探究一,探究二,探究三,变式训练1判断下列命题是否正确,并说明理由: (1)过点A(3,0),且垂直于x轴的直线的方程为x=3; (2)ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D为BC中点,则中线AD的方程为x=0;,解:(1)正确.满足曲线方程的定义,故结论正确. (2)错误.因为中线AD是一条线段,而不是直线,所以其方程应为x=0(-3y0),故结论错误. (3)错误.由方程可得x2+y2=4或x+y-1=0(x2+y24),所以该方程表示的是一个圆或两条射线.,探
7、究一,探究二,探究三,判断(或证明)方程是曲线的方程 【例2】 证明:圆心为P(a,b),半径等于r的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.,综上可知,(x-a)2+(y-b)2=r2是圆心为P(a,b),半径等于r的圆的方程.,反思感悟证明方程的曲线或曲线的方程须证明两点:(1)曲线上的坐标都是方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.,探究一,探究二,探究三,变式训练2证明以点C(0,3)为圆心,以2为半径的圆的方程为x2+(y-3)2=4,并判断点M( ,4),N(1,3+ ),P(0,1),Q(1,0)是否在圆上.,证明:设M(x0,y0)是圆上的任一点,则|MC|=2
8、,故点M(x0,y0)到C点的距离等于2,即点M在以C为圆心,2为半径的圆上. 综上可知,以点C(0,3)为圆心,2为半径的圆的方程为x2+(y-3)2=4.,探究一,探究二,探究三,把点M的坐标代入方程x2+(y-3)2=4,左右两边相等,即( ,4)是方程的解,所以点M在这个圆上,同理可判断点N,点P在圆上,而点Q(1,0)不在这个圆上.,探究一,探究二,探究三,求曲线的方程 【例3】 设圆C:(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程.,解法一(直接法) 设OQ为过O的一条弦,P(x,y)为其中点,由圆的范围知0x1.,探究一,探究二,探究三,解法二(定义法)
9、 OPC=90,解法三(代入法),(2x-1)2+(2y)2=1(0x1).,探究一,探究二,探究三,解法四(参数法) 设动弦OQ的方程为y=kx,代入圆方程得 (x-1)2+k2x2=1,即(1+k2)x2-2x=0,探究一,探究二,探究三,反思感悟求动点的轨迹方程主要方法有直接法、定义法、代入法、待定系数法、参数法等. (1)直接法:建立平面直角坐标系,把动点满足的几何条件转化为x,y间的关系,即得轨迹方程. (2)定义法:当已知条件适合圆锥曲线的定义时,可直接写出方程. (3)代入法:若动点P(x,y)依赖于已知曲线上另一个点Q(x,y)而运动时,可用x,y来表示x,y,再代入已知曲线方
10、程,即可求出轨迹方程. (4)待定系数法:若由题设条件易于确定方程的类型,可先设出方程,再由条件确定方程中的参数,即“先定型,再定量”. (5)参数法:当直接建立x,y间的关系较困难时,可通过选适当的参数,找出x,y间的间接关系,即参数方程,然后消去参数化为普通方程.,探究一,探究二,探究三,变式训练3已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半,求: (1)动点M的轨迹方程; (2)若N为线段AM的中点,试求点N的轨迹.,解:(1)设动点M的坐标为(x,y),则由两点间距离公式及题意易得,整理,得x2+y2=16,即为动点M的轨迹方程.,探究一,探究二,探究三,(2)设动
11、点N的坐标为(x,y),M的坐标是(x1,y1).由A(2,0),且N为线段AM的中点,所以有x1=2x-2,y1=2y. 由(1)知M是圆x2+y2=16上的点, 将代入并整理,得(x-1)2+y2=4. 所以N的轨迹是以(1,0)为圆心,2为半径的圆.,1 2 3 4 5,1.已知定点A(-1,0),B(1,0),动点P满足直线PA,PB的斜率之积为-1,则动点P满足的方程是( ),答案:B,1 2 3 4 5,2.一条线段长为10,两端点A,B分别在x轴和y轴上滑动,M点在线,A.x2+16y2=64 B.16x2+y2=64 C.x2+16y2=8 D.16x2+y2=8,整理得16x
12、2+y2=64.,答案:B,1 2 3 4 5,3.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,APB=60,则动点P满足的方程为 . 解析:设P(x,y),圆x2+y2=1的圆心为O. APB=60,圆O的半径为1, |OP|=2,x2+y2=4. 答案:x2+y2=4,1 2 3 4 5,4.设P为双曲线 -y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是 .,答案:x2-4y2=1,1 2 3 4 5,5.设两定点A,B的距离为8,求到A,B两点距离的平方和是50的动点的轨迹方程.,解:以A,B两点连线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(8,0).设曲线上的动点为P(x,y). 依据题意可得 |PA|2+|PB|2=50,化简可得x2+y2-8x+7=0, 故所求轨迹方程为x2+y2-8x+7=0.,
