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1、6距离的计算课后训练案巩固提升A组1.已知向量n=(1,0,-1)与直线l垂直,且l经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到l的距离为()A.B.C.D.解析:n=(1,0,-1)与直线l垂直,n的单位向量n0=.又l经过点A(2,3,1),=(2,0,1),在n上的投影n0=(2,0,1).点P到l的距离为.答案:B2.已知平面的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面内,则点P(-2,1,4)到的距离为()A.10B.3C.D.解析:的一个法向量为n=(-2,-2,1),n0=.又点A(-1,3,0)在内,=(-1,-2,4),点P到平面的距离为|n0|=.答案:
2、D3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为()A.aB.aC.aD.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a).=(0,a,-a),=(-a,0,a).|=a,|=a.点A1到BC1的距离d=a.答案:A4.导学号90074046如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN与平面ACD1间的距离是()A.B.C.D.解析:如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),D1(0,0,1),M,N,C(0,1,0).所以=(-1,0,1
3、),.所以.又直线AD1与MN不重合,所以MNAD1.又MN平面ACD1,所以MN平面ACD1.因为=(-1,0,1),=(0,1,-1),设平面ACD1的法向量n=(x,y,z),则所以所以x=y=z.令x=1,则n=(1,1,1).又因为-(1,0,0)=,所以点M到平面ACD1的距离d=.故直线MN与平面ACD1间的距离为.答案:D5.如图,在长方体ABCD-ABCD中,AB=2,BC=3,AA=4,则点B到直线AC的距离为.解析:AB=2,BC=3,AA=4,则B(2,0,0),C(2,3,0),A(0,0,4),=(0,0,4)-(2,3,0)=(-2,-3,4),=(2,0,0)-
4、(2,3,0)=(0,-3,0),上的投影为=.点B到直线AC的距离d=.答案:6. 如图,已知ABC是以B为直角的直角三角形,SA平面ABC,SA=BC=2,AB=4,M,N,D分别是SC,AB,BC的中点,则点A到平面SND的距离为.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则N(0,2,0),S(0,0,2),D(-1,4,0),=(0,-2,2),=(-1,4,-2).设平面SND的法向量为n=(x,y,1).n=0,n=0,n=(2,1,1).=(0,0,2),点A到平面SND的距离为.答案:7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA底面ABCD,AB=,BC=1,PA
5、=2,E为PD的中点.在侧面PAB内找一点N,使NE平面PAC,并分别求出点N到AB和AP的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系,则由题意有A(0,0,0),C(,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E.所以=(,1,0),=(0,0,2).因为点N在侧面PAB内,故可设点N的坐标为(x,0,z),则.由NE平面PAC,可得即化简,得所以即点N的坐标为,从而点N到AB和AP的距离分别为1,.8.已知三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点.求点C到平面AB1D的距离.解(方法一)如图,连接A1B,交AB1于点M,连接DM,则DM平面AA1B1B,所以
6、A1BDM.又=()()=|2-|2=0,A1BAB1.A1B平面AB1D.即是平面AB1D的一个法向量.故点C到平面AB1D的距离d=a.(方法二)如图,以B为原点,过点B与BC垂直的直线为x轴,BC所在的直线为y轴,BB1所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A,A1,B1(0,0,a),D,C(0,a,0).可知.取AB1的中点M,则M.,a+0(-a)=0.DMA1B.又a2+-a2=0,A1BAB1.A1B平面AB1D.即是平面AB1D的一个法向量,故点C到平面AB1D的距离d=a.B组1.已知ABCD-EFGH是棱长为1的正方体,若点P在正方体内部且满足,则点P
7、到AB的距离为()A.B.C.D.解析: 建立如图所示的空间直角坐标系,则(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=.又=(1,0,0),上的投影为,点P到AB的距离为.答案:A2.如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AEB是等腰直角三角形,其中AEB=90,则点D到平面ACE的距离为()A.B.C.D.2解析: 取AB的中点O,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),从而=(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2).设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则令y=
8、1,则x=-1,z=-1,n=(-1,1,-1)为平面ACE的一个法向量.故点D到平面ACE的距离d=.答案:B3.如图,BCD与MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=2,则点A到平面MBC的距离为.解析:取CD的中点O,连接OB,OM,则OBCD,OMCD.又平面MCD平面BCD,则MO平面BCD.以O为原点,建立空间直角坐标系如图,由题意得OB=OM=,AB=2,所以C(1,0,0),M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2).设n=(x,y,z)是平面MBC的法向量,则=(1,0),=(0,),由取n=(,-1,1).又=(0,0,2),则点A
9、到平面MBC的距离d=.答案:4.如图,正方体的棱长为1,E,F,M,N分别是所在棱的中点,则平面A1EF与平面B1NMD1间的距离为.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,0),B1(1,1,0),E,F,D1(0,0,0),M,N.E,F,M,N分别是所在棱的中点,MNEF,A1EB1N.平面A1EF平面B1NMD1.平面A1EF与平面B1NMD1间的距离即为A1到平面B1NMD1的距离.设平面B1NMD1的法向量为n=(x,y,z),=(1,1,0),n=0,且n=0.即(x,y,z)(1,1,0)=0,且(x,y,z)=0.x+y=0,且-x+z=0,令x=2,则y=-2
10、,z=1.n=(2,-2,1),n0=.=(0,1,0),A1到平面B1NMD1的距离为d=|n0|=.答案:5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.(1)求证:B1C平面A1BD;(2)求点B1到平面A1BD的距离.(1)证明连接AB1交A1B于E,连接DE.B1C平面A1BD.(2)解建立如图所示的坐标系,则B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),所以=(0,2,3),=(0,2,0),=(-1,0,3).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),所以即取n=(3,0,1).所以所求距离为d=.6.导学号90074
11、047如图,平面PAD平面ABCD,ABCD为正方形,PAD=90,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,PD的中点.问:线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为?若存在,求出CQ的值;若不存在,请说明理由.解由题意知PA,AD,AB两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),D(0,2,0),E(0,0,1),F(0,1,1).假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件.令CQ=m(0m2),则DQ=2-m.点Q的坐标为(2-m,2,0),=(2-m,2,-1).而=(0,1,0),设平面EFQ的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则n=(1,0,2-m)是平面EFQ的一个法向量.又=(0,0,1),点A到平面EFQ的距离d=,即(2-m)2=,m=2,不合题意,舍去.故存在点Q,且CQ=时,点A到平面EFQ的距离为.
