《2019数学新设计北师大选修2-1精练：第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2 word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019数学新设计北师大选修2-1精练：第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2 word版含答案（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2抛物线的简单性质课后训练案巩固提升A组1.已知抛物线y2=ax(a0)的准线是x=-1,则它的焦点坐标是()A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(-1,0)解析:准线为x=-=-1,a=4,即y2=4x.焦点坐标为(1,0).答案:A2.如图,F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若=0,则|+|+|等于()A.6B.4C.3D.2解析:由=0,知F为ABC的重心,由抛物线方程知,F(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),x1+x2+x3=3.又|+|+|=x1+x2+x3+p=3+3=6.答案:A3.已知直线l过抛物线y2=8x的
2、焦点且与它交于A,B两点,若AB中点的横坐标为3,则|AB|等于()A.7B.5C.8D.10解析:焦点为F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=23=6,所以|AB|=|FA|+|FB|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4=10.答案:D4.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|等于()A.4B.8C.8D.16解析:直线AF的方程为y=-(x-2),联立得y=4,所以点P的坐标为(6,4).由抛物线的性质,得|PF|=|PA|=6+2=8.答案:B5.过抛物线的焦点F的直线与抛物线相
3、交于A,B两点,若点A,B在抛物线的准线上的射影分别为A1,B1,则A1FB1为()A.45B.60C.90D.120解析:设抛物线的方程为y2=2px(p0).如图,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,AA1F=AFA1,BFB1=FB1B.又AA1OxB1B,A1FO=FA1A,B1FO=FB1B.A1FB1=AFB=90.答案:C6.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:焦点在y轴上;焦点在x轴上;抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;抛物线的通径的长为5;由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).能使这条抛物线的方程为y2=10x的条件是(要求填写适合条件的序号
4、).解析:由抛物线的方程为y2=10x,知它的焦点在x轴上,适合.又抛物线的焦点坐标为F,原点O(0,0),设点P(2,1),可得kPOkPF=-1,也适合.而显然不适合,通过计算可知不合题意.应填序号为.答案:7.有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=2x上,另一个顶点在原点,则这个三角形的边长是.解析:有两个顶点关于x轴对称,进而得到两边所在直线的倾斜角是.可设三角形的边长为a,x轴上方的顶点为,代入抛物线方程,得x0=6.由a=6,得边长a=12.答案:128.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+y2+3的最小值是.解析:点(x,y)在抛物线y2=4x上,x0.z=x2+y
5、2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,当x=0时,z最小,其最小值为3.答案:39.已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,求当k为何值时,l与C有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点?解将l和C的方程联立,得消去y,得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)(1)当k=0时,方程(*)只有一个解x=,y=1.直线l与C只有一个公共点,此时直线l平行于x轴.(2)当k0时,方程(*)是一个一元二次方程.当0,即k1,且k0时,l与C有两个公共点,此时直线l与C相交;当=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;当1时,l与C没有公共点,此时直线l与C
6、相离.综上所述,当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;当k1时,直线l与C没有公共点.10.导学号90074069已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为D.(1)求证:点F在直线BD上;(2)设,求直线l的方程.解设直线l与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则点D的坐标为(x1,-y1).由题意,得l的方程为x=my-1(m0).(1)证明:将x=my-1代入y2=4x,并整理,得y2-4my+4=0.从而y1+y2=4m,y1y2=4.直线BD的方程为y-y2=(x-x2),即y-y2=.令y=0,得x=1
7、.所以点F(1,0)在直线BD上.(2)由知,x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2,x1x2=(my1-1)(my2-1)=1.因为=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),所以=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2,故8-4m2=,解得m=.所以l的方程为3x+4y+3=0,3x-4y+3=0.B组1.过抛物线y2=2px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则为()A.4B.-4C.p2D.-p2解析:(方法一)特例法:当直线垂直于x轴时,A,B=-4.(方法二)当直线斜率不存在时,直线方程为
8、x=.由得交点坐标.x1x2=,y1y2=-p2,=-4.当直线斜率存在时,直线方程为y=k.由得y2-y-p2=0.y1y2=-p2,x1x2=,则=-4.答案:B2.导学号90074070如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为60的直线l,交抛物线于A,B两点,且|FA|=3,则抛物线的方程是.解析:过点A,B向准线x=-作垂线,垂足分别为C,D,过B点向AC作垂线,垂足为E.A,B两点在抛物线y2=2px上,|AC|=|AF|,|BD|=|BF|.BEAC,|AE|=|AF|-|BF|.直线AB的倾斜角为60,在RtABE中,2|AE|=|AB|=|AF|+|BF|,即2(
9、|AF|-|BF|)=|AF|+|BF|,|AF|=3|BF|.|AF|=3,|BF|=1,|AB|=|AF|+|BF|=4.设直线AB方程为y=,代入y2=2px,得3x2-5px+=0,x1+x2=,|AB|=x1+x2+p=4.p=,抛物线方程为y2=3x.答案:y2=3x3.已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M,N关于直线y=-kx+对称,求k的取值范围.解(方法一)由题意,知k0,设M(x1,y1),N(x2,y2)是关于直线对称的两点,则MN的方程可设为y=x+b,代入y=x2,得x2-x-b=0,且=+4b0.又x1+x2=,中点x0=,y0=+b,(x0,y0)在直线l:y=
10、-kx+上,+b=-k,b=4-.代入,得+16-0.,k或k,k2,即k或k0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.求证:(1)x1x2为定值;(2)为定值.证明(1)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,当直线的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(k0).由消去y,整理,得k2x2-p(k2+2)x+=0.由根与系数的关系,得x1x2=为定值.当直线的斜率不存在,即ABx轴时,x1=x2=,x1x2=也成立.x1x2为定值.(2)当直线的斜率存在时,由抛物线的定义知,|FA|=x1+,|FB|=x2+.为定值.当直线的斜率不存在,即ABx轴时,|FA|=|FB|=p,上式也成立.为定值.
