《2018-2019学年高中数学人教a版必修4课件：2.2.1向量加法运算及其几何意义 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学人教a版必修4课件：2.2.1向量加法运算及其几何意义 （56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义,1.向量的加法 (1)定义:求_的运算.,两个向量和,(2)运算法则: 三角形法则: 已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作 =a, =b, 则向量 叫做a与b的和,记作_,即a+b= + =_. 如图所示:,a+b,平行四边形法则: 已知两个不共线向量a,b,作 =a, =b,则O,A,B三 点不共线,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则对角 线上的向量_=a+b. 如图所示:,(3)规定:对于零向量与任意向量a,规定a+0=0+a=a. 2.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b=b+a. (2)结合律:(a+b)
2、+c=a+(b+c).,【点拨】 (1)对向量加法三角形法则的两点说明 适用范围:任意向量. 注意事项:()两个向量一定首尾相连. ()和向量的始点是第一个向量的始点,终点是第二个向量的终点. ()当多个向量相加时,可以使用三角形法则.,(2)对向量加法的平行四边形法则的三点说明 适用范围:任意两个非零向量,且不共线. 注意事项:()两个非零向量一定要有相同的始点; ()平行四边形中的一个对角线所对应的向量为和向量.,方法与步骤:第一步:先把两个已知向量a与b的始点平移到同一点; 第二步:以这两个已知向量为邻边作平行四边形.,【自我检测】 1. 等于 ( ) 【解析】选C.根据平面向量的加法运
3、算,得:,2.在平行四边形ABCD中, = ( ) 【解析】选D.,3.在四边形ABCD中, 则 ( ) A.四边形ABCD一定是矩形 B.四边形ABCD一定是菱形 C.四边形ABCD一定是正方形 D.四边形ABCD一定是平行四边形,【解析】选D.由 知A,B,C,D构成的四边形一定是平行四边形.,4.已知 则a+b+c+d=_. 【解析】a+b+c+d= 答案:i,5.在ABC中,下列四个结论中正确的有_.,【解析】 所以结论正确; 两边之和大于第三边,所以 即结论正确;所以结论正确的是. 答案:,类型一 向量加法法则 【典例】1.(1)如图所示,求作向量和a+b. (2)如图所示,求作向量
4、和a+b+c.,2.如图,O为正六边形ABCDEF的中心,指出与下列向量相等的向量:,【审题路线图】1.向量共线利用三角形法则作向量和;向量不共线利用三角形或平行四边形法则作向量和. 2.看到正六边形对边平行且相等向量加法平行四边形法则,向量相等化简.,【解析】1.(1)首先作向量 =a,然后作向量 =b, 则向量 =a+b.如图所示.,(2)方法一(三角形法则):如图所示,首先在平面内任 取一点O,作向量 =a,再作向量 =b,则得向量 = a+b,然后作向量 =c,则向量 =(a+b)+c=a+b+c即为 所求.,方法二(平行四边形法则):如图所示,首先在平面内 任取一点O,作向量 以OA
5、,OB为邻边 作OADB,连接OD,则 再以OD,OC为邻 边作ODEC,连接OE,则 即为所求.,2.(1)因为四边形OABC是以OA,OC为邻边的平行四边 形,OB是其对角线,故 (2)因为 故 方向相同,长度为 的 长度的2倍,故 (3)因为 故,【方法技巧】向量求和的注意点 (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用. (2)两个向量的和向量仍是一个向量. (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.,【拓展延伸】向量求和的多边形法则 (1)已知n个向量,依次首尾相接,则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和,这称为向量求和的多边形法则.即,(2)首尾顺次相接的若干
6、向量求和,若构成一个封闭图形,则它们的和为0.,【变式训练】若四边形ABCD为菱形,则下列等式中成立的是 ( ),【解析】选A.因为四边形ABCD为菱形， 所以,【补偿训练】如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G, H,则 = ( ),【解析】选C.设a= 以OP,OQ为邻边作平行四边 形,则夹在OP,OQ之间的对角线对应的向量即为向量a= 由于和 长度相等,方向相同,所以a= .,类型二 向量加法及运算律的应用 【典例】1.(2018上饶高一检测)向量 化简后等于 ( ),2.设a= b是任一非零向量,则在下 列结论中,正确的是 ( ) ab;a+b=a;a+b=b;|a+b|a|+
7、|b|; |a+b|=|a|+|b|. A. B. C. D.,3.如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式:,【审题路线图】1.由已知的向量式向量加法的交换律,三角形法则化简. 2.看到向量a的表达式化简求出a根据a,向量的概念,向量模的不等式判断. 3.看到梯形,梯形中点向量间的相等、共线关系利用向量关系代入化简.,【解析】1.选D.向量 2.选C. 所以0b,正确;0+b=b,正确; |0+b|=|0|+|b|,正确.,3. ,【方法技巧】向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义:向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现恰当利用向量加
8、法法则运算的目的.实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.,(2)应用原则:利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.,【变式训练】(2018荆州高一检测)设正六边形 ABCDEF, 则 =_. 【解析】如图, 所以 答案:n+m,【补偿训练】化简 的结果是 ( ) 【解析】选A.因为 所以,类型三 向量加法的实际应用 【典例】长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输。现有一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.,
9、(1)试用向量表示水速、船速及船实际航行的速度. (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与水速之间的夹角表示,精确到度).,【审题路线图】根据条件作出图形向量间的关系 利用三角形知识解题. 【解析】(1)如图所示, 表示船速, 表示水速,以 AD,AB为邻边作平行四边形ABCD,则 表示船实际航行 的速度.,(2)在RtABC中, 所以 因为tanCAB=2.5, 由计算器得CAB68, 所以船实际航行速度的大小约为5.4km/h,方向与水速间的夹角约为68.,【延伸探究】 1.本例中若该船从A点出发以2 km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶,船的实际航行速度的大小为4km/h,求 水速.
10、 【解析】由题意, 故 解得| |=2, 故水速为2km/h.,2.本例中若该船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时水速为v2,船的实际航行的速度的大小为4km/h,方向与水速间的夹角是30,求船速和水速的大小.,【解析】由题意,|v1|=4sin30=2(km/h), |v2|=4sin60=2 (km/h), 故船速为2km/h,水速为2 km/h.,【方法技巧】 1.应用向量解决平面几何问题的基本步骤 (1)表示:用向量表示有关量,将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算:应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则,将有关向量进行运算,解答向量问题.,(3)还原:根据向量
11、的运算结果,结合向量共线、相等等概念回答原问题.,2.与向量相关的实际问题的处理策略 (1)力的合成是一类典型的向量求和问题. (2)解题时先要根据题意作出相应的图形,再利用平行四边形或三角形知识解题. (3)最后将向量问题还原为实际问题作答.,【补偿训练】在静水中船的速度为20m/min,水流的速度为10m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向.,【解析】作出图形如图:船速v船与岸的方向所成角度为,由图示可知v水+v船=v实际,结合已知条件,可知四边形ABCD为平行四边形. 在RtABC中,所以cos= 所以=60,即船行进的方向 与水流方向成120角.,【核心素养培优区】 【易错案例】向量的加法在向量化简中的应用 【典例】如图,在正六边形ABCDEF中, =( ),B,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:本题错误的原因是未能结合正六边形边的关系, 得到 在化简的过程中代入.,【自我纠正】选D.根据正六边形的性质,易得,
