《2018-2019学年高中数学人教a版必修3课件：2.3.1-2.3.2变量之间的相关关系 两个变量的线性相关 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学人教a版必修3课件：2.3.1-2.3.2变量之间的相关关系 两个变量的线性相关 （78页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 变量间的相关关系 2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关,1.两个变量的线性相关 (1)散点图:将样本中n个数据点(xi,yi)(i=1,2,n)描在平面直角坐标系中得到的图形.,(2)正相关与负相关: 正相关:散点图中的点散布在从_到_的区域. 负相关:散点图中的点散布在从_到_的区域.,左下角,右上角,左上角,右下角,2.回归直线的方程 (1)回归直线:如果散点图中点的分布从整体上看大致 在_附近,就称这两个变量之间具有_ 关系,这条直线叫做回归直线. (2)回归方程:_对应的方程叫做回归直线的方 程,简称回归方程.,一条直线,线性相关,回归直线,(3)最小
2、二乘法: 求回归直线方程 时,使得样本数据的点到回归 直线的_最小的方法叫做最小二乘法.,_,距离的平方和,其中, 是回归方程的_, 是回归方程在y轴上 的_.,斜率,截距,【点拨】 (1)两个变量间的分类关系 函数关系,如正方形的边长与面积的关系.,相关关系,不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的,例如,某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系,即为相关关系. 不相关,即两个变量间没有任何关系.,(2)相关关系与函数关系的异同点 相同点:两者均是指两个变量的关系. 不同点: ()函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系; ()函数关系是一种因果关系,而相关
3、关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.,(3)对回归直线与回归方程的理解 回归方程被样本数据唯一确定,各样本点大致分布在回归直线附近.对同一个总体,不同的样本数据对应不同的回归直线,所以回归直线也具有随机性.,对于任意一组样本数据,利用最小二乘法公式都可以求得“回归方程”,如果这组数据不具有线性相关关系,即不存在回归直线,那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此,对一组样本数据,应先作散点图,在具有线性相关关系的前提下再求回归方程. 提醒:回归直线一定能过样本点的中心,【自我检测】 1.两个变量成负相关关系时,散点图的特征是 ( ) A.点从左下角到右上角区域散布 B.点散布在某带形区域
4、内 C.点散布在某圆形区域内 D.点从左上角到右下角区域散布,【解析】选D.两个变量成负相关关系时,散点图的特征是点从左上角到右下角区域散布.,2.下列图形中具有相关关系的两个变量是 ( ) 【解析】选C.A,B为函数关系,D无相关关系.,3.已知x与y之间的一组数据: 则y与x的线性回归方程 必过点 ( ) A.(1,2) B.(5,2) C.(2,5) D.(2.5,5),【解析】选C.线性回归方程一定过样本点的中心 由 故必过点(2,5).,4.下列关系中,有相关关系的是 . 正方形的边长与面积之间的关系; 水稻产量与施肥量之间的关系; 人的身高与年龄之间的关系.,【解析】正方形的边长与
5、面积之间的关系是函数关系.水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系. 人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而它们不具备相关关系. 答案:,类型一 相关关系的判断 【典例】1.图中的两个变量是相关关系的是 ( ) A. B. C. D.,2.某公司20112016年的年利润x(单位:百万元)与年广告支出y(单位:百万元)的统计资料如表所示:,则下列说法正确的是 ( ) A.利润中位数是16,x与y有正线性相关关系 B.利润中位数是18,x与y有负线性相关关系 C.利润中位数是17,x与y有正
6、线性相关关系 D.利润中位数是17,x与y有负线性相关关系,3.5名学生的数学和化学成绩如表:,画出散点图,并判断它们之间是否有相关关系.如果有相关关系,是正相关还是负相关?,【审题路线图】判断两个变量是否相关两个变量的散点图大体在一条直线附近上下波动.,【解析】1.选D.相关关系所对应的图形是散点图,能反映两个变量的变化规律,它们是相关关系. 2.选C.由表知,利润中位数是 (16+18)=17,且y随x的增大而增大.,3.散点图如图所示: 由图可知,它们之间具有相关关系,且是正相关.,【方法技巧】两个变量x与y相关关系的判断方法 散点图判断:判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系,常用的
7、简便方法就是绘制散点图,如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量就是线性相关的,注意不要受个别点的位置的影响.,提醒:画散点图时应注意合理选择单位长度,避免图形过大或偏小,或者使点的坐标在坐标系中画不准,使图形失真,导致得出错误结论.,【变式训练】对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2, ,10),得散点图;对变量u,v有观测数据(ui,vi) (i=1,2,10),得散点图.由这两个散点图可以 判断 ( ),A.变量x与y正相关,u与v正相关 B.变量x与y正相关,u与v负相关 C.变量x与y负相关,u与v正相关 D.变量x与y负相关,u与v负相关,【解析】
8、选C.图中的数据y随着x的增大而减小,因此变量x与变量y负相关;图中的数据v随着u的增大而增大,因此u与v正相关.,【补偿训练】1.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论不正确的是 ( ),A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关,【解析】选D.由柱形图得,从2006年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年份负相关.,2.下列关系中,属于相关关系的是 . 人的身高与视力的关系;
9、做自由落体运动的物体的质量与落地时间的关系; 降雪量与交通事故的发生率之间的关系.,【解析】身高与视力无关,不具有函数关系,也不具有相关关系;自由落体的物体的质量与落地时间无关,不具有相关关系;降雪量越大,交通事故发生率越高,具有不确定性的相关关系. 答案:,类型二 回归方程的求法 【典例】1.已知回归直线的斜率的估计值是1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线的方程是 .,2.一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点,每小时生产有缺点的零件的多少随机器的运转的速度的变化而变化,下表为抽样试验的结果:,(1)画出散点图. (2)如果y对x有线性相关关系,请画出一条直线近似地
10、表示这种线性关系. (3)在实际生产中,若它们的近似方程为 允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件,那么机器的运转速度应控制在什么范围内?,【审题路线图】求回归方程求回归方程的步骤和相关公式.,【解析】1.设回归直线方程为 , 是样本点 的中心.依题意, =1.23, =4, =5,所以 =0.08, 所以回归直线的方程是 =1.23x+0.08. 答案: =1.23x+0.08,2.(1)散点图如图所示:,(2)近似直线如图所示: (3)由y10得 解得x14.9,所以机器的运转速度应控制在14转/秒内.,【延伸探究】 1.典例2(3)中近似方程不变,若每增加一个单位的转速,生产有缺
11、点的零件数近似增加多少?,【解析】因为y= ,所以当x增加一个单位时,y大 约增加 .,2.典例2(3)中近似方程不变,每小时生产有缺点的零件个数是7,估计机器的转速. 【解析】因为y= ,所以当y=7时,7= ,解得x11.,【方法技巧】求回归直线方程的一般步骤 (1)收集样本数据,设为(xi,yi)(i=1,2,n). (2)作出散点图,确定x,y具有线性相关关系. (3)把数据制成表格.,(4)计算 (5)代入公式计算 公式为 (6)写出回归直线方程,【补偿训练】下表提供了某厂节能降耗技术改造后在 生产A产品过程中记录的产量x(t)与相应的生产能耗y(t)的几组对应数据:,根据上表提供的
12、数据,求出y关于x的线性回归方程 =0.7x+0.35,那么表中m的值为 ( ) A.1 B.3 C.5 D.7,【解析】选B. 因为回归直线 =0.7x+0.35过点( ), 所以 =0.74.5+0.35=3.5. 所以 = =3.5,所以m=3.,类型三 利用回归方程对总体进行估计 【典例】1.(2018山东高考)为了研究某班学生的脚 长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随 机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x 之间有线性相关关系,设其回归直线方程为,已知 xi=225, yi=1600, =4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为( ) A.160
13、 B.163 C.166 D.170,2.炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.如果已测得炉料熔化完毕时,钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据如下表所示:,(1)作出散点图,你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗? (2)求回归直线方程. (3)预测当钢水含碳量为160时,应冶炼多少分钟?,【解题路线图】用回归方程对总体进行估计应用计 算公式求得线性相关系数 的值,求出回归方程,代入 相关数值求解.,【解析】1.选C. =22.5, =160, =160-422.5=70, 则回归直线方程为
14、=4x+70,所以该学生的身高为 424+70=166.,2.(1)以x轴表示含碳量,y轴表示冶炼时间,可作散点图如图所示:,从图中可以看出,各点散布在一条直线附近,即它们线性相关.,(2)列出下表,并用科学计算器进行计算:,设所求的回归直线方程为 所求回归直线方程为 =1.267x-30.47. (3)当x=160时, =1.267160+(-30.47)=172.25. 即当钢水含碳量为160时,应冶炼约172.25分钟.,【方法技巧】回归分析的三个步骤 (1)判断两个变量是否线性相关:可利用经验,也可以画散点图. (2)求回归直线方程,注意运算的准确性. (3)根据回归直线进行预测:估计
15、值不是实际值,两者会有一定的误差.,【变式训练】假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的年平均维修费用y(万元)(即维修费用之和除以使用年限),有如下的统计资料:,(1)画出散点图. (2)求回归方程. (3)估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是多少?,【解析】(1)画出散点图如图所示.,(2)从散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线的附近,因此,两变量呈线性相关关系. 由题表数据可得, 由公式可得 =5-1.234 =0.08.即回归方程是 =1.23x+0.08.,(3)由(2)知,当x=10时, =1.2310+0.08=12.38 (万元). 故估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用 是12.38万元.,【核心素养培优区】 【规范案例】求回归直线方程 【典例】(12分)(2018洛阳高一检测)某化工厂的原料中有A和B两种有效成分,现随机抽取了10份原料样品进行抽样检测,测得A和B的含量如下表所示:,设成分A的百分含量为x%,成分B的百分含量为y%. (1)作出两个变量y与x的散点图. (2)两个变量y与x是否线性相关?若是线性相关,求出线性回归方程.,【规范解答】(1)按照y从小到大的顺序调整表中数据(这样
