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1、高考数学小题精练三视图和空间几何体的表面积、体积一、单选题1将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的侧面积为A 4 B C D 2【答案】B【解析】【分析】可以得到该几何体为底面半径为r=1，母线长为l=的圆锥，代入侧面积计算公式即可。【详解】【点睛】本题考查圆锥的侧面积计算公式，属于基础题。2一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:),则该几何体的表面积为( )A B C D 【答案】A【解析】分析：根据正视图，左视图，俯视图可得该几何体为圆柱，然后根据圆柱表面积公式求解即可.详解：由题得该几何体为圆柱，底面半径为2，高为4，所以表面积为： ，故选A.点睛：考查三
2、视图，能正确推理出几何体的形状是解题关键，属于基础题.3一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A B C D 【答案】A点睛：（1）在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线 （2）在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑4某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球表面积为（ ）A B C D 【答案】B【解析】【分析】几何体复原后为正方体的内接四面体，其外接球即正方体外接球.【详解】几何体复原后如图所示:【点睛】空间几何体与球接、切
3、问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解 (2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解5已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D 【答案】D 【解析】把三视图还原为几何体，此几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，可以借助于直三棱柱进行切割得到，则体积， 故选D.6已知三棱锥的底面是边长为2的等边三角形
4、，平面，且，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A B C D 【答案】D【解析】【分析】【详解】由已知得，作下图，连结，延长至圆上交于H，过作交于，则为，所以，为斜边的中点， 所以，为的中位线，为小圆圆心，则为的中点，则，则，则球的半径 球的表面积为答案选D.【点睛】本题考查计算球的表面积，关键在于利用进行计算，难点在于构造三要素相关的直角三角形进行求解，难度属于中等。7如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,那么该四棱锥的直观图是下列各图中的( )A B C D 【答案】C【解析】【分析】利用排除法，根据正视图侧视图三角形竖线的位置可排除选项，从而可得结果.【详解】【点睛】本题
5、利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) 正（主视图） 侧（左）视图 俯视图A B C D 【答案】D【解析】点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图画出几何体的直观图；（
6、2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；（3）画出整体，然后再根据三视图进行调整.9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D 【答案】B【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知几何体为锥与柱的组合体，其中锥的高为1，底面为四分之一个圆，圆半径为1；柱的高为1，底面为直角三角形，两个直角边长分别为1和2，所以体积为，故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查三视图找原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)通过三视图找几何体原图常用的方法有：直接法和模型法.10如图，圆锥顶点为
7、，底面圆心为，过轴的截面，为中点，则从点经圆锥侧面到点的最短距离为A B C D 【答案】A【解析】【分析】【详解】先作出圆锥的侧面展开图如图所示，由题得圆锥底面圆的半径为，所以,所以,所以BC=.故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查圆锥侧面两点间的最短距离，意在考察学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.(2)求曲面上两点间的最短距离，一般利用展开法，转化成平面上两点间的最短距离.11下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D 【答案】C其中.根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上， 设球心到截面BCO
8、的距离为x，则到AD的距离为：4x，R2=x2+（）2，R2=22+（4x）2，解得出：，该多面体外接球的表面积为：4R2=，故选：C点睛：对于外接球问题，若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径.12如图，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点分别在上，且.过点的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为A B C D 【答案】B【解析】【分析】【详解】当斜面经过点时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此时为等腰梯形，上底为MN=4，下底为BC=8此
9、时作正四棱台俯视图如下：则MN中点在底面的投影到BC的距离为8-2-1=5因为正四棱台的高为5，所以截面等腰梯形的高为 所以截面面积的最大值为 所以选B【点睛】本题考查了立体几何中过定点的截面面积问题，关键是分析出截面的位置，再根据条件求得各数据，需要很好的空间想象能力，属于难题。二、填空题13若一个球的体积为，则该球的表面积为_【答案】 14如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为上一点，且设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则_.【答案】【解析】【分析】表示出VP-ABC=，VP-ACE= VP-ACD VE-ACD = VP-ABC VE-ACD【详解】VP-ABC= VP-ACE= VP-AC
10、D VE-ACD = VP-ABC VE-ACD =-= VP-ABC，即【点睛】本题主要考察三棱锥的体积计算公式，首先需要注意椎体的体积S底h，另外三棱锥是唯一个在计算体积时可以换底的，另外遇到不好求的体积可用割补法进行15网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为_【答案】2【解析】【分析】先确定几何体，再根据长方体以及四棱柱体积公式求结果.【详解】【点睛】先根据熟悉的柱、锥、台、球的图形，明确几何体的展开对应关系，结合空间想象将展开图还原为实物图，再在具体几何体中求体积.16某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为，则该几何体的体积为_【答案】点睛：本题考查了三棱锥的三视图、椎体的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
