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1、中山一中中山一中 2017-2018 学年第二学期高二级学年第二学期高二级 第第 一一 次次 段段 考考 数学数学 试试 卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。目要求的。 1. 函数在区间上的平均变化率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值，再利用平均变化率公式求出该函数在区间 上的平均变化率. 详解：， 该函数在区间上的平均变化率为，故选 B. 点睛：本题主要考查函数在区间上的平均
2、变化率，意在考查学生的计算能力与理解能力，属于简单题. 2. 若，则复数在复平面上对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数在复平面上对应的点的坐标，即可得结果. 详解：因为 所以复数在复平面上对应的点的坐标为， 位于第四象限，故选 D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚 数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别 要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3
3、. 已知曲线上一点，则 处的切线斜率等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：求出曲线的导函数，然后把切点的横坐标代入导函数即可求出切线的斜率. 详解：， 时， 即 处切线的斜率是 ，故选 B. 点睛：本题主要考查导数的几何意义，以及已知切点坐标求斜率，属于简单题.要解答本题，首先必须掌握在曲 线上某点的导函数就是该点处的切线斜率，先对函数求导，再将切点横坐标代入即可. 4. 方程有实根 ，且，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：由复数相等的意义将方程转化为实系数方程，解方程求出两根. 详解：方程， 可以变为， 由复数相等的性质得，解得， 方程有实根 ，故， 复
4、数，故选 A. 点睛：本题主要考查复数相等的意义，两个复数相等，则它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等. 5. 在用反证法证明时的反设为 A. 且 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】分析：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，命题“”的否定，即是所求. 详解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立， 因为命题“”的否定为“” ， 用反证法证明时的反设为 “或” ，故选 B. 点睛：本题考查命题的否定，用反证法证明数学命题，属于简单题. 6. 某个命题与正整数有关，如果当时，该命题成立；那么可推得当时命题也成立，现在已 知当时，该命题不成立，那么可推得 A. 当时，该命
5、题不成立 B. 当时，该命题成立 C. 当时，该命题不成立 D. 当时，该命题成立 【答案】C 【解析】如果当时，该命题成立，那么可推得当时命题也成立所以其逆命题为： 当时命题不成立，那么时，该命题也不成立，故已知当时，该命题不成立， 那么可推得当时该命题不成立 7. 复数不可能在 A. 在第一象限 B. 在第二象限 C. 在第三象限 D. 在第四象限 【答案】A 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 ，令复数实部、虚部 大于零，得到不等式组无解，即对应的点不在第一象限. 详解：由已知， 复平面对应的点如果在第一象限，则， 而此不等式无解， 即在复平面
6、对应的点不可能在第一象限，故选 A. 点睛：本题主要考查数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，考查复数的几何意义，复数与复 平面内的以实部为横坐标，虚部为纵坐标的点一一对应. 8. 函数的切线方程为，则 A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 【答案】A 【解析】分析：求出导函数，令可得切点坐标，将切点坐标代入切线方程即可得结果. 详解：因为，所以， 令，得， 时，切点坐标为，代入切线方程可得，不合题意； 时，切点坐标为，代入切线方程可得，符合题意，故选 A. 点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率 ,即 求该点处的导数；(2)
7、己知斜率 求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是 切点) 求切点, 设出切点利用求解. 9. 数列，则此数列的第项是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：分析给数列的变化规律，可以将数列如下分组：第一组 个数，为 ；第二组 个数，为；第 三组 个数，为，分析可得项应该在第组，列举第组的每个数，即可得到结论. 详解：根据题意，数列， 可以将数列如下分组：第一组 个数，为 ； 第二组 个数，为； 第三组 个数，为， 前 组共有个数， 第组有个数， 第项应该在第组， 第组为， 则第项是 ，故选 B. 点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知
8、的相同性质中推出一个明 确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式 子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识， 如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 10. 某运动员罚球命中得 1 分，不中得 0 分，如果该运动员罚球命中的概率为，那么他罚球一次的得分 的 方差为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：直接利用期望公式与方差公式求解即可. 详解：， ， ，故选 B. 点睛：本题考查离散型随机变量的期望与方差，属于中档题.
9、 求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是： 先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率， 列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算 11. 计算（其中）的结果为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析： ，利用微积分基本定理求解即可. 详解：， ，故选 A. 点睛：本题考查定积分的求法，考查计算能力.对于求分段函数以及含绝对值符号的函数求定积分，往往将所求定 积分化为多个定积分的和或差解答. 12. 若存在使不等式成立，则实数 的范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：,先证明符合题意，若，利用单调性可得 ，
10、利用导数可得，利用可得结果. 详解：由， （1）若，当时，而，此时结论成立； （2）若，由于，所以在是减函数，则. 由于与 轴的交点为， 那么，如果存在使不等式成立， 则， 由（1） 、 （2）得实数 的范围为，故选 C. 点睛：本题考查不等式能成立问题，考查利用导数研究函数的单调性， 以及分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参 数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快 速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同
11、学们能够熟练掌握并 应用与解题当中。 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分。分。 13. 复数为纯虚数，则 的取值是_ 【答案】 【解析】分析：根据纯虚数的定义可得，从而可得结果. 详解：复数为纯虚数， ，解得，故答案为. 点睛：本题主要考查复数的基本概念，函数与方程思想，意在考查系数利用所学知识解决问题的能力，属于简 单题. 14. 在某次考试中，学号为的同学的考试成绩，且，则这 四位同学的考试成绩的所有_种； 【答案】种 【解析】先从集合里任意取四个数，共有种方法. 再把这四个成绩分配给四个同学，由于要满足，所以只有一种分配方法，所以由乘法
12、分步 原理得这四位同学的考试成绩共有 151=15 种，故填 15. 15. 若在展开式中，第四项是常数项，则 的值为_； 【答案】18 【解析】试题分析：设展开式中第项为，则，又展开式中第 4 项是常数项，时，. 考点：考查二项式定理.计算能力. 点评：易出现以下错误：展开式中第 4 项是常数项，时，. 16. 将集合，且中所有的数按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 3 5 6 9 10 12 - - - - - - - - - 则该数表中，从小到大第 50 个数为_ 【答案】 【解析】分析：用表示，利用前几个数找到其规律，是每一个的横坐标从 增加到对应的行数，而纵坐 标为行
13、数，由，则是第行的第 个数，即可求出. 详解：用表示，如表的规律为： ， ， ， ， 则第个数是第行的第五个数， ，故答案为. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （1）用分析法证明：; （2）如果是不全相等的实数，若成等差数列，用反证法证明：不成等差数列. 【答案】 （1）见解析（2）见解析 【解析】分析：（1）利用分析法证明，平方、化简、再平方，可得显然成立，从而可得结果；（2）假设 成等差数列，可得，结合可得，与是不全相等的实数矛盾，从而可得结论. 详解：（1）欲证 只需证：即 只需证：即显然结论成立 故 （2）假
14、设成等差数列，则 由于成等差数列，得 那么，即 由、得与是不全相等的实数矛盾。 故不成等差数列。 18. 已知 为实数，函数,若. ()求函数的单调区间； () 证明对任意的，不等式恒成立. 【答案】 （1）单调增区间为，；单调减区间为 （2）见解析 【解析】分析：() 求出，在定义域内，分别令求得 的范围，可得函数增区间，求得 的 范围，可得函数的减区间；() 对任意的，不等式恒成立,等价于的最大值与 的最小值的差小于，利用导数研究函数的单调性，求出其最值即可的结果. 详解：() ，即 由，得或 由，得 因此，函数的单调增区间为，； 单调减区间为 () 由()的结论可知， 在上的最大值为，最
15、小值为； 在上的的最大值为，最小值为 在上的的最大值为，最小值为 因此，任意的，恒有 点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在 的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减） ，那么在处取极大值，如果左负右正（左减 右增） ，那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间 上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小. 19. 甲、乙、丙 3 人投篮,投进的概率分别是. ()现 3 人各投篮 1 次,求 3 人都没有投进的概率； ()用 表示乙投篮 3 次的进球数,求随机变量 的概率分布及数学期望； 【答案】 （1） （2） 【解析】分析：()综合利用独立事件的概率公式与对立事件的概率公式求解即可；() 随机变量 服从二项 分布，直接利用二项分布的期望公式求解即可. 详解：()记“甲投篮 1 次投进“为事件 A1 , “乙投篮 1 次投进“为事件 A2 , “丙投篮 1 次投进“为事件 A3, “3 人都没有投进“为事件 A . 则 P(A1)= , P(A2)= , P(A3)= , P(A) = P()=P()P()P() = 1P(A1) 1P (A2) 1P (A3)
