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1、20172017 届江苏南京三中高考热身数学试卷一（届江苏南京三中高考热身数学试卷一（2017-05-262017-05-26） 注意事项：注意事项： 1 1本试卷共本试卷共 4 4 页，包括填空题（第页，包括填空题（第 1 1 题题 第第 1414 题）题） 、解答题（第、解答题（第 1515 题题 第第 2020 题）两部题）两部 分本试卷满分为分本试卷满分为 160160 分，考试时间为分，考试时间为 120120 分钟分钟 2 2答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目 的答案空
2、格内考试结束后，交回答题卡的答案空格内考试结束后，交回答题卡 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上 1.设全集，若集合，则_ 【答案】 【解析】 全集， =,故填 2.已知（，i 为虚数单位） ，则_ 【答案】1 【解析】 由，得，得，所以,故填 1. 3.式子的化简结果为_ 【答案】 【解析】 ,故填 . 4.袋子中有大小、质地相同的红球、黑球各一个，现有放回地随机摸取 3 次，每次摸取一个球，若摸出红球， 得 10 分，摸出黑球，得 5 分，则 3 次摸
3、球所得总分至少是 25 分的概率是_ 【答案】 【解析】 一共有 8 种不同的结果,列举如下:(红,红,红), (红,红,黑), (红,黑,红), (红,黑,黑), (黑,红,红), (黑,红,黑), (黑,黑,红), (黑,黑,黑),其中总分至少是 25 分的有(红,红,红), (红,红,黑), (红,黑,红), (黑,红,红)共 4 种,所以所求概率为 ,故填 . 点睛:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型:(1)试验中所有可能出现的基本事件只 有有限个(2)每个基本事件出现的可能性相等如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现 的可能性都相等，那么每一个基本
4、事件的概率都是 ；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率 P(A) 5.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳 定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为_ 【答案】6.8 【解析】 根据茎叶图的数据,计算甲的平均数为 乙的平均数为 根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小,较为稳定,即方差较小,计算乙成绩 的方差为,故填 6.8. 6.若满足约束条件，则目标函数的最大值是_ 【答案】6 【解析】 画出可行域可知，当目标函数过点时，有最大值为 ,故填 6. 点睛:本题考查简单的线性规划. 应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)
5、在平面直角坐 标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形(3)确定最优解：在可行域内平行移 动目标函数变形后的直线，从而确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 7.已知双曲线的离心率为 2，则实数 的值是_ 【答案】 【解析】 ，所以，由，得，,故填. 8.已知函数，的值域为，则实数 的取值范围为_ 【答案】 【解析】 因为,所以,由正弦函数图像可知,所以 的取值范围为. 9.设等差数列an的公差 不为 0，若，且 与的等比中项为 ，则 =_ 【答案】4 【解析】 由，得，因为，所以，由， 得，因为，所以,故填 4. 10.在三棱柱 PABC
6、中， PA，PB，PC2，且PA，PB，PC两两垂直，则此三棱锥外接球的体积是 _ 【答案】 【解析】 三棱锥外接球的半径为，所以其外接球的体积为,故填. 11.若函数是定义在 R 上的奇函数，当时，则不等式的解集为_ 【答案】 【解析】 因为是定义在 上的奇函数，所以；由，得，所以，又当时， 单调递增，从而在 上单调递增，所以有,故填 12.已知，且，若点 P 满足，则的取值范围为_ 【答案】 【解析】 因为，由，得,故填 13.若不等式对任意的恒成立，则实数x的取值集合为_ 【答案】 【解析】 画图可知，函数和函数连续在 轴右边有相同的零点，令，得，代 入中，得，或，注意到，所以实数 的取
7、值集合为,故填. 14.设，则的最小值为_ 【答案】 【解析】 ；当且仅当，时等号成立,故填 24. 点睛:本题考查基本不等式的应用,属于中档题目. 解此类题目的两个技巧: (1)创设运用基本不等式的条件， 合理拆分项或配凑因式，其目的在于使等号能够成立(2)既要记住基本不等式的原始形式，而且还要掌握它 的变形形式及公式的逆用等，例如：，(a0，b0) 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15.已知向量，其中.
8、 （1）若，求角 的大小； （2）若，求的值. 【答案】(1) 或;(2) . 【解析】 试题分析:（1）由，得，代入坐标计算,根据，解出 值;（2）由，得，代入 坐标计算即可. 试题解析:（1）由，得，即， 即，因为，所以， 所以或，解得或 （2），由，得， 即，整理得， 因为，所以，等式两边同时除以得， ，即， 解得或，因为，所以 16.如下图在，四棱锥中，底面为矩形，侧面 底面， ； （1）求证：平面 平面； （2）若过点 的直线 垂直平面，求证： /平面. 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】 试题分析:（1）根据，侧面底面，可得平面，又平面, 所以平面平 面;（2）由，
9、可得 平面 试题解析:（1）证明：因为为矩形，所以，侧面底面， 侧面底面，平面，所以平面， 平面，所以，又，、平面， 所以平面，又平面，所以平面平面 （2）由（1）知，平面，又平面，所以， 又平面，平面，所以 平面 点睛:本题给出了特殊的四棱锥,求证线面平行和面面垂直,着重考查了空间平行,垂直的位置关系的判断与证明,属 于中档题.线面平行一般利用线线平行推得,即线面平行的判定定理,也可根据面面平行得到;面面垂直的证明主 要是利用面面垂直的判定定理证明,或者两个平面所成的二面角的平面角为直角. 17.某河道中过度滋长一种藻类，环保部门决定投入生物净化剂净化水体. 因技术原因，第 t 分钟内投放净
10、 化剂的路径长度(单位：m)，净化剂净化水体的宽度 (单位：m)是时间 t(单位：分钟)的函数: ( 由单位时间投放的净化剂数量确定，设 为常数，且). （1）试写出投放净化剂的第 t 分钟内净化水体面积的表达式； （2）求的最小值. 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】 试题分析:（1）根据题意去掉绝对值写出分段函数的表达式;（2）当 40t60 且 tN*时，S(t)= 在 40t60 时单调递减；当 t=60 时，S(t)有最小值 2a2+120当 1t40 且 tN*时，S(t)= 100+a2+20a；若 a=1 或 2 或 3 时 S(t)在 1t40 范围中有最小值
11、 a2+2a +100在 40t60 时 S(t)有最小值 2a2+120当 a=1 时，100+a2+20a=121122=2a2+120，故 S(t)有最小值 121；当 a=2 或 a=3 时，100+a2+20a2a2+120，故 S(t)有最小值 2a2+120若 a4 且 1t40 时， S(t+1)=100+a2+t+1+ S(t)=100+a2+t+， S(t)在 1t60 时单调递减当 t=60 时，S(t)有最小值 2a2+120 试题解析:（1）由题意，. （2）当 40t60 且 tN*时，S(t)= ，当 t 增加时减少， 所以 S(t)在 40t60 时单调递减；当
12、 t=60 时，S(t)有最小值 2a2+120 当 1t40 且 tN*时，S(t)= 100+a2+20a； 若 a=1 或 2 或 3 时；当 t=10a 时，上述不等式中的等号成立， S(t)在 1t40 范围中有最小值 a2+2a +100 又在 40t60 时 S(t)有最小值 2a2+120 当 a=1 时，100+a2+20a=121122=2a2+120，故 S(t)有最小值 121； 当 a=2 或 a=3 时，100+a2+20a2a2+120，故 S(t)有最小值 2a2+120 若 a4 且 1t40 时，因为0， 所以 S(t+1)=100+a2+t+1+S(t)=
13、100+a2+t+， 故 S(t)在 1t40 中单调递减；又 S(t)在 40t60 时单调递减， 所以 S(t)在 1t60 时单调递减 所以，当 t=60 时，S(t)有最小值 2a2+120 综上，若 a=1，当 t=10 时，S(t)有最小值 121；即第 10 天的销售额最少，为 121 千元 若 a4 且 aN*，当 t=60 时，S(t)有最小值 2a2+120 18.如图，已知椭圆 C：，点 A,B 分别是左、右顶点，过右焦点 F 的直线 MN（异于x轴） 交于椭圆 C 于 M、N 两点. （1）若椭圆 C 过点，且右准线方程为，求椭圆 C 的方程； （2）若直线 BN 的斜
14、率是直线 AM 斜率的 2 倍，求椭圆 C 的离心率. 【答案】(1) 或;(2) . 【解析】 试题分析:（1）根据曲线上的点和右准线方程写出椭圆方程;（2）设，则，； 因为点在椭圆 上，所以，所以，联立方程消元,根据韦达 定理可得，又,进而求得离心率. 试题解析:（1）因为椭圆 过点，所以， 又已知右准线方程为，所以， 可解得，；或，； 所以椭圆 的方程为或 （2）设，则，； 因为点在椭圆 上，所以， 所以， 设直线：，与椭圆 ：联立方程组消去 得 ， ， 将，代入上式化简得 ，又；所以， 得，即，解得或， 又，所以，即椭圆 的离心率为 点睛:本题考查直线与抛物线的位置关系的问题,其中过焦
15、点的最短弦长为通径. 直线与圆锥曲线的位置关系从 几何角度看：当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或 重合时，直线与抛物线也只有一个交点.从代数角度看：设直线 L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到 .若 =0，当圆锥曲线是双曲线时，直线 L 与双曲线的渐进线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时， 直线 L 与抛物线的对称轴平行或重合.若，设.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交. 时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离. 19.已知数列和满足：. （1）若，求数列的通项公式； （2）若. 求证：数列为等差数列； 记数列的前 项和为，求满足的所有正整数 和 的值. 【答案】(1) ;(2) ， 【解析】 试题分析:（1）当时，有，得， 构造数列是首项为 ，公比为的等比数列；所以，即，所以 （）;（2）当时，有（），按照 n 被 4 整除的余数分四类分别证明 数列为等差数列;由知，则（） ；由，得 ；按照,和时分别讨论,求出正整数 和 . 试题解析:（1）当时，有，得， 令，所以， 所以数列是首项为 ，公比为的等比数列；所以， 即，所以（） （2）当时，有（）， （）时，所以为等差数列； （）； （）时，所以为等差数列； （）； （）时
