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1、揭阳第三中学揭阳第三中学 2017-20182017-2018 学年度第二学期第一次阶段考试学年度第二学期第一次阶段考试 高二数学（理科）高二数学（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1.已知全集，集合 则=( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据二次 的解法，先将 A 化简，求出UA. 【详解】A=x|x22x0=x|x0 或 x2，全集 U=R UA=x|0x2， 故选 A. 【点睛】本题考查了集合的基本的交集运算，属于基础题。 2.已知复数，那么 A. B. C. D.
2、 【答案】C 【解析】 试题分析： 考点：复数运算 3.曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求导函数，可得切线的斜率，从而可得切线方程 【详解】求导函数，可得 y=4x x=1 时，y=4 即在此点处的斜率为 4，又已知点为， 曲线 y=x2+3x 在点（1，2）处的切线方程为 y2=4(x1)，即 y=4x-2 故选：A 【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点 得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程. 4.函数的定义域为开区间，其导函数在内的图象如图
3、所示，则函数在开区间 内极小值点 的个数为（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】A 【解析】 试题分析：在极小值点处满足：,由图可知在右边第二个零点处满 足条件，故 A. 考点：极值点定义. 5.是方程表示椭圆的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 试题分析：若方程表示椭圆，则，解得且，所以是方程 表示椭圆的必要不充分条件，故选 B 考点：椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定 6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 的值等于（ ） A. 18 B. 20 C. 2
4、1 D. 40 【答案】B 【解析】 由程序框图知：算法的功能是求 的值， 输出 S=20故选 B 7.函数在一个周期的图象如下，此函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：由图象可得，A=2，T=，所以， =2，将代入上式，得， ，取，函数的解析式为，故选 A. 考点：本题主要考查三角函数的图象和性质。 点评：典型题，根据函数部分图象确定函数的解析式，一般地，观察确定 A，T，通过代人计算确定 。 8.已知，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先把转化成（）（a+2b）的形式，展开后利用基本不等式求得其最小值 【详
5、解】a+2b=1， =（）（a+2b）=3+ 3+2=3+2（当时等号成立） 故选：D 【点睛】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等 技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得 的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 9.若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先设长轴为 2a，短轴为 2b，焦距为 2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率 【详解】设
6、长轴为 2a，短轴为 2b，焦距为 2c， 则 2a+2c=22b， 即 a+c=2b（a+c）2=4b2=4（a2c2） ，所以 3a25c2=2ac，同除 a2， 整理得 5e2+2e3=0，离心率是 或1（舍去） ， 故选：C 【点睛】本题考查椭圆的几何性质及其应用，列出不等式并转化为关于离心率的不等式是解答的关键，求椭圆 的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 或 转化为关于 的方程(不等 式)，解方程(不等式)即可得 ( 的取值范围)。 10.若 f(x)=上是减函数，则
7、 b 的取值范围是( ) A. -1，+ B. （-1，+） C. （-，-1 D. （-，-1） 【答案】C 【解析】 由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所 以，故为正确答案。 11.如果，是抛物线 ：上的点，它们的横坐标依次为， 是抛物线 的焦点， 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：抛物线 的焦点，准线方程是，由抛物线的定义得：， ，所以，故选 A 考点：抛物线的定义 12.已知函数满足，且当时，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的对称性和函数的单调性,由 f（3）=f（3），f（2）=f（2），0312
8、 ，f（3）f（1）f（2） ， 即 f（3）f（1）f（2） 【详解】f（x）=f（x） ，则 f（x）关于 x= 对称 f（3）=f（3），f（2）=f（2） 当时，y=ex+y=sinx，单调递增， 此时函数 f（x）=ex+sinx 是增函数 0312 ， f（3）f（1）f（2）， 即 f（3）f（1）f（2） 故选：D 【点睛】本题主要考查函数对称性和函数单调性的应用，根据条件求出函数 f（x）的单调性是解决本题的关键， 考查函数性质的综合应用 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.对具有线性相关
9、关系的变量和，测得一组数据如下： x24568 y3040605070 若已求得它们的回归方程的斜率为 6.5，则这条直线的回归方程为 . 【答案】 【解析】 试题分析：解：，这组数据的样本中心点是把样本 中心点代入回归直线方程，求得 a=175，回归直线的方程为故答案为 考点：线性回归方程 14.已知变量满足条件则的最小值是_ 【答案】2 【解析】 作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截 距最小，此时 最小，代入目标函数得，即的最小值是 2，故答案为 2. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最
10、值的一般步骤是“一 画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应 点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目 标函数求出最值. 15.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是_ 【答案】 【解析】 试题分析：根据三视图可判断直观图为： OA面 ABC，AC=AB，E 为 BC 中点， EA=2，EC=EB=1，OA=1，可得 AEBC，BCOA，运用直线平面的垂直得出：BC面 AEO， ， 故该三棱锥的表面积是，故选 C 考点：由三视图求体积 16.对于函数给出定义： 设是函
11、数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的 “拐点” ， 某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”：任意一个三次函数都有对 称中心，且“拐点”就是对称中心，给定函数，请根据上面探究结果：计算 _. 【答案】2016 【解析】 【分析】 由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（ ，1）对称，即 f（x）+f（1x）=2，即可得到结论 【详解】由， f（x）=x2x+3， 所以 f（x）=2x1，由 f（x）=0，得 x= f（x）的对称中心为（ ，1）， f（1x）+f（x）=2， 故设m， 则 f（）+f（）+f（）=m， 两式相加得 22016=2m， 则 m=2016
12、， 故答案为：2016 【点睛】本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键求和的过程中使用 了倒序相加法 三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) ) 17.设函数 . （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值. 【答案】 （1）；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）由导数的几何意义得到，又，由点斜式得到切线方程；（2）对函数求导研究函数的单调 性，根据极值的概念得到结果. 【详解】 （1）， ， 又， 曲线在点处的切线方程是
13、，整理得： （2）由（1）知， 令，解得：或， 当 变化时，的变化情况如下表： 1 0+0 极小值极大值 因此，当时，为极小值，当时，为极大值 【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号 零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，再者对函数 求导后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。 18.在ABC 中，是角所对的边，且满足 (1) 求角 的大小； (2) 已知向量，设. 求函数的值域. 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据余弦定理得到，进而得到
14、角 B；（2）根据向量的点积运算得到， , ，根据三角函数的图像的性质得到值域. 【详解】(1)，即， 又， （2） , 的值域是 【点睛】本题主要考查了函数 y=Asin（ x + ）的图像和性质，考查了余弦定理的应用，在研究函数的单调性 和最值时，一般采用的是整体思想，将 x + 看做一个整体，地位等同于 sinx 中的 x. 19.如图，四棱锥中，底面， 是的中点 （1）求证：； （2）求证：面； （3）求二面角 E-AB-C 的正切值 【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】 （1）根据线面垂直得到线线垂直；（2）由等腰三角形的性质得到，由（1）推得面，故， 进
15、而得到结果；（3）过点 E 作 EFAC，垂足为 过点 F 作 FGAB，垂足为 G连结 EG，是二面角 的一个平面角，根据直角三角形的性质求解即可. . 易知，故面 【详解】 （1）证明：底面， 又，故面 面，故 （2）证明：，故 是的中点，故 由（1）知，从而面，故 易知，故面 （3）过点 E 作 EFAC，垂足为 过点 F 作 FGAB，垂足为 G连结 EG PAAC, PA/EF EF底面且 F 是 AC 中点 故是二面角的一个平面角 设，则 PA=BC= ，EF=AF= 从而 FG=，故 【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。面 面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做。 求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建 系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。 20.设是正项数列的前 项和，且. （1）设数列的通项公式； （2）若，设，求数列的前 项和 【答案】 （1）；（
