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1、安徽省示范高中培优联盟安徽省示范高中培优联盟 2017-20182017-2018 学年高一下学期春季联赛学年高一下学期春季联赛 数数 学（理）试学（理）试 题题 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . 1.如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析：根据题意，求得，即可图中阴影部分所表示的集合. 详解：由
2、题意得，所以图中阴影部分所表示的集合为，故选 C. 点睛：本题主要考查了集合表示与集合的补集与交集的运算，着重考查了推理与运算能力. 2.函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析：根据函数的解析式，列出函数满足的条件，即可求解函数的定义域. 详解：由函数，可得函数满足，解得, 即函数的定义域为，故选 A. 点睛：本题主要考查了函数的定义域，其中根据函数的解析式列出函数有意义满足的条件是解答的关键，着重 考查了推理与运算能力. 3.已知向量，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：由向量的夹角公式，即可求解向量的夹角. 详解：由题意，
3、向量， 所以且，所以，故选 B. 点睛：本题主要考查了平面向量的夹角公式的应用，其中熟记向量的夹角公式是解答的关键，着重考查了推理 与运算能力，试题属于基础题. 4.已知是等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析：由题意，在等比数列中，是的等比中项，且是同号的，即可求解结果. 详解：由题意，数列为等比数列，且， 则是的等比中项，且是同号的， 所以，故选 C. 点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式及其性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题属 于基础题. 5.已知的面积为 ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析：由题意
4、知的面积为 ，且，得，再由均值不等式，即可求解的最小值. 详解：由题意知的面积为 ，且，所以， 即， 所以，当且仅当时取得等号， 所以的最小值为 ，故选 A. 点睛：本题主要考查了均值不等式求最小值和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记均值不等式的使用条 件，以及等号成立的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 6.若实数，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：通过不等式的性质的推理和举出反例，即可作出判断. 详解：对于 A 中，当时不成立，所以是错误的； 对于 B 中，取时，不成立，所以是错误的； 对于 C 中，取时，不成立，
5、所以是错误的， 对于 D 中，由，所以是正确的，故选 D. 点睛：本题主要考查了不等式的基本性质，其中熟记不等式的基本性质的使用条件和推理方法是解答的关键， 着重考查了推理与论证能力. 7.已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：由题函数的定义域为，值域为，求得当时，当时，即可求 解得取值范围. 详解：由题函数的定义域为，值域为， 所以当时，；当时，或； 所以当时，当时， 所以，故选 D. 点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用问题，其中熟记对数函数的图象与性质是解得关键，着重 考查了推理与运算能力，试题属于基础题. 8.函
6、数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：根据三角恒等变换的公式，化简得，结合三角函数的图象，即可得到结论. 详解：由题意，函数， 结合函数的图象，即可得到函数的最小正周期为 ，故选 B. 点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的恒等变换的应用，其中解答中熟记三角函数的 图象与性质及三家恒等变换的公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力. 9.已知中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析：由题意，可得点 为的重心，所以，利用向量的运算，即可求解 . 详解：由题意，可得点 为的重心， 所以， 所以， 所以，故选
7、 C. 点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算及向量的模的运算，其中根据平面向量的线性运算，得到点 为 的重心是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题. 10.已知实数满足，则的最大值与最小值之差为（ ） A. B. C. D. 与 的取值有关 【答案】B 【解析】 分析：画出约束条件所表示的平面区域，因为，结合图象可知，目标函数取得最大值与最小值时的最 优解分别为和两点，代入即可求解结果. 详解：画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 因为， 结合图象可知，目标函数取得最大值与最小值时的最优解分别为和两点， 分别代入目标可得， 所以目标函数的最大值与最小值之差为，故选 B
8、. 点睛：本题主要考查了线性规划的应用问题，其中正确画出约束条件所表示的平面区域，结合图象得到目标函 数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想和学生的推理、运算能力. 11.函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，可排除 ；由 ,可排除 ，故选 D. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的 命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方 面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的
9、变化 趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 12.已知数列中，恒为定值，若时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析：由题意知恒为定值，且时，得，又由 ，得，所以数列是周期为 10 的周期数列，即可求解的值. 详解：由题意知恒为定值，且时， 所以当时， 所以， 于是，数列是周期为 10 的周期数列， 所以，故选 C. 点睛：本题主要考查了数列的递推关系式和数列的周期性的应用，其中解答中根据数列的递推关系式得 ，进而得到数列是周期为 10 的周期数列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力， 以及推理与论证能力，试题属于中档试题. 第第卷（共卷（共 9090
10、 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.幂函数的图象经过点，则它的单调递减区间是_ 【答案】和 【解析】 分析：设幂函数，由，得，得到幂函数的解析式，利用幂函数的性质，即可得到其单调递 减区间. 详解：设幂函数，由，得， 所以幂函数的解析式为且在定义域上为单调递减函数， 其单调递减区间为和. 点睛：本题主要考查了幂函数的解析式及其幂函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力. 14.已知非零向量，若且，则_ 【答案】 【解析】 分析：由题意，即，所以向量反向，且，根据向量相等，即可求解 的关
11、系式，进而得到结论. 详解：由题意，即，所以向量反向， 又由，所以，即， 所以，即，所以. 点睛：本题主要考查了向量的基本运算，向量相等和向量的数量积的意义，其中解答中熟记向量的基本概念、 基本运算和向量的数量积的意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 15.若，则_ 【答案】 【解析】 分析：由题意，化简求得，再由两角和的正切函数公式，代入即可求解. 详解：由题意知，整理得， 所以，则. 点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中涉及到三角函数的基本关系式，两角和的三角函 数等公式的应用，熟记三角函数化简的基本公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 16.已知，若，则
12、_ 【答案】 【解析】 分析：由题意得，设，则，又由 ，根据多项式对应相等，求解的值，即可得到结论. 详解：由题意，即， 设，则， 又由， 所以，得， 又因为，且，所以， 所以（舍去）或， 所以. 点睛：本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，解答中由题设得到，设出新函数 ，则，再根据二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分 析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.设
13、等差数列的前 项和，且 （1）求 的值； （2）求取得最小值时，求 的值 【答案】(1)3；(2)2 或 3. 【解析】 分析：（1）法一法一：设的公差为 ，由题意列出方程组，求得，进而求解 的值； 法二法二：由题，求得，利用等差数列的等差中线公式，求解 的值；（2）法一法一：由等差数列 的求和公式，得到，根据二次函数的性质，即可得到当或 时，取得最小值 法二法二：由数列的通项公式，得到数列满足，进而得到结论. 详解：（1）法一法一：设的公差为 ， 由题，解得， 法二法二：由题，于是 （2）法一法一：，当或 时，取得最小值 法二法二：， 故当或 时，取得最小值 点睛：本题主要考查了等差数列的通
14、项公式的求解和数列和的最值问题的判定，其中熟记等差数列的通项公式 和等差数列的求和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 18.设函数图像中相邻的最高点和最低点分别为 （）求函数的单调递减区间； （）若函数的图像向左平移个单位长度后关于点对称，求 的最小值 【答案】(1)；(2) . 【解析】 分析：（1）由题意，得出函数的解析式，再由正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的单 调递减区间； （2）函数的图象向左平移个单位长度后，得，再根据图象关于点，列出 方程，即可求解 的最小值. 详解：（1）由题，周期， 再由，即， 得：，又， 由，得的单减区间为 （注：亦可结合周期及最高点、最低点的
15、坐标获得函数的单调递减区间 ） （2）函数的图象向左平移个单位长度后，得， 由题， ， 当时， 的最小值为 点睛：本题考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质的应用，求最小正周期时可先把所给三角函数 式化为或的形式，即可研究三角函数的图象与性质，着重考查了转化与化归的思 想方法，以及推理与运算能力. 19.设的内角所对的边分别是，且是与的等差中项 （）求角 ； （）设，求周长的最大值 【答案】(1)60；(2)6. 【解析】 分析：（1）法一：由题意，利用正弦定理，化简得，即可求解角 的大小； 法二：由题意，利用余弦定理化简得到，即，即可求解角 的大小； （2）法一：由余弦定理及基本不等式，得，进而得周长的最大值；法二：由正弦定理和三角恒 等变换的公式化简整理得，进而求解周长的最大值. 详解：（1）法一法一：由题， 由正弦定理， 即，解得，所以 法二法二：由题，由余弦定理得： ， 解得，所以 （2）法一法一：由余弦定理及基本不等式， ， 得，当且仅当时等号成立， 故周长的最大值为 法二法二：由正弦定理， 故周长 ，当时，周长的最大值为 法三法三：如图，延长至 使得，则， 于是，在中，由正弦定理：， 即， 故周长， ，当时，周长的最大值为 点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用
