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1、南平市南平市 2018-20192018-2019 学年第一学期高一期末质量检测数学试题学年第一学期高一期末质量检测数学试题 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用对数性质化简集合 P，然后求交集即可. 【详解】，又 故选：D 【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查对数函数的性质，属于基础题. 2.已知点
2、，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由两点求斜率公式可得 AB 所在直线当斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解 【详解】解：直线过点， ， 设 AB 的倾斜角为 （0180） ， 则 tan1，即 45 故选：B 【点睛】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题 3.在正方体中，异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由可知异面直线 AD1，BD 所成的角为DB，在等边三角形中易得结果. 【详解】 解：， 异面直线 AD1，BD 所成的角为DB， DB为等边三角形， DB60 异面直线与所
3、成角为 60 故选：C 【点睛】本题考查两异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养 4.函数的零点所在的区间是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：记，则 所以零点所在的区间为 考点：本题主要考查函数的零点存在定理. 点评：对于此类题目，学生主要应该掌握好零点存在定理，做题时只要依次代入端点的值，判断函数值的 正负即可，一般出选择题. 5.设函数的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 是奇函数 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性的性质即可得到结论 【详解】解
4、：f（x）是奇函数，g（x）是偶函数， f（x）f（x） ，g（x）g（x） ， f（x）|g（x）|f（x）|g（x）|是奇函数，故 A 正确， |f（x）|g（x）|f（x）|g（x）为偶函数，故 B 错误， f（x）g（x）f（x）g（x）是奇函数，故 C 错误 |f（x）g（x）|f（x）g（x）|为偶函数，故 D 错误， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键 6.设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 试题分析：，,故选 D
5、. 考点：点线面的位置关系. 7.若函数的最大值为 2，则实数 的值为（ ） A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数的奇偶性，求解函数的最值，列出方程，求解即可 【详解】解：函数 f（x）3|x|m 是偶函数， x0 时，函数是减函数，函数的最大值为：1m2， 解得 m1 故选：A 【点睛】本题考查函数的最值，函数的奇偶性的应用，考查转化思想以及计算能力 8.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出 【详解】解：alog0.31.20，b（0.3）1.2（0，1） ，c1.20
6、.31 abc 故选：B 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 9.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是， 则它的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由三视图得到几何体为球挖去 得到的，根据体积计算半径，然后计算表面积 【详解】解：由已知三视图得到几何体是球挖去 剩下的部分，设球半径为 r，由几何体体积为得到 ，解得 r1，所以几何体的表面积为. 故选：D 【点睛】本题考查了由几何体的三视图求几何体的表面积；关键是正确还原几何体的形状 10.已知点，直线与线段相
7、交，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 直线 l 过定点 P（1，1） ，且与线段 AB 相交，利用数形结合法，求出 PA、PB 的斜率， 从而得出 l 的斜率 k 的取值范围 【详解】解：直线 l 的方程0 可化为 k（x1） +10， 直线 l 过定点 P（1，1） ，且与线段 AB 相交，如图所示； 则直线 PA 的斜率是 kPA4， 直线 PB 的斜率是 kPB， 则直线 l 与线段 AB 相交时，它的斜率 k 的取值范围是 故选：A 【点睛】本题考查了直线方程的应用问题，考查了斜率与倾斜角的关系，也考查了数形结合的应用问题， 是基础题目
8、 11.由曲线围成的图形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意作出图形，结合图形知曲线所围成的图形是一个正方形与四个半圆组成，由此求得面积 【详解】解：曲线 x2+y22|x|+2|y|可化为（|x|1）2+（|y|1）22； 由题意，作出图形如图所示； 由曲线关于 x,y 轴，原点对称对称， 当 x0，y0 时，解析式为（x1）2+（y1）22， 则此曲线所围成的图形由一个边长为 2 的正方形与四个半径为的半圆组成， 所围成的面积是 224（）28+4 故选：D 【点睛】本题考查了圆的方程与应用问题，也考查了数形结合的 应用问题，是中档题 12.已知函
9、数，若互不相等，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 作函数的图象，从而可得 ab1，8c10；从而求得 【详解】解：作函数的图象如下， 不妨设 0abc，满足 f（a）f（b）f（c） ， log8alog8b，即 ab1； 8c10； 故 abc 的取值范围是（8，10） ； 故选：B 【点睛】本题考查了数形结合思想应用及对数的运算，同时考查了整体代换的思想应用 第第卷卷 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.设为上的奇函数，当时，则_ 【答案】-1 【解析】
10、 【分析】 先求出，再利用奇偶性得到结果. 【详解】解：当时， ，又为上的奇函数 故答案为：1 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，对数的运算性质，属于基础题 14.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥外接球的体积为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 三棱锥 PABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出 长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积 【详解】解：三棱锥 PABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直，它的外接球就是它 扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：. 所以球的直径是 2，半径为 1，
11、球的体积： 故答案为： 【点睛】本题考查球的体积和表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题 15.表示三个数中的最小值，设，则的最大值为_ 【答案】7 【解析】 【分析】 作出三个函数的图象，结合图象不难得到结果. 【详解】作出三个函数的图象： 根据定义可知，在 B 处取到最大值，当 x+311x 时，x4， 故 f（4）7， 故答案为：7 【点睛】本题以新定义为背景，考查了函数的最值的求法及分段函数的应用 16.已知为等腰三角形， 是的中点，且，则面积的最大值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 先在ABD 中利用余弦定理表示出 cosA，进而求得 sinA 的表达式，进而
12、代入三角形面积公式利用转化为 二次函数来解决 【详解】解：等腰三角形 ABC 中，ABAC，D 为 AC 的中点，BD4， 则： 则：， 故最大值为： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了余弦定理和正弦定理的运用解题过程中充分利用好等腰三角形这个条件，把表 达式的未知量减到最少 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.已知直线 过点和点. （1）求直线 的方程； （2）设点，求三角形的面积. 【答案】 （1）（2）4 【解析】 【分析】 (1)利用截距式得
13、到直线 的方程； （2）求出及点 到直线 的距离 ，即可得到三角形的面积. 【详解】 （1）直线 的方程为，即 （2） 点 到直线 的距离 因此三角形的面积 【点睛】本题考查直线方程的应用，考查截距式方程、点到直线距离等知识，属于基础题. 18.设函数 （1）用定义证明函数 在区间 上是单调递减函数； （2）求在区间上的最值 【答案】 （1）见解析（2） 【解析】 试题分析：（1）用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论 （2） 利用（1）中的单调性求最值 试题解析： 解：解：（1）由定义得，所以函数 在区间 上是单调递减函 数； （2）函数 在区间 上是单调递减
14、函数, . 点睛：明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或） ；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止） ；（3）定号：判断的正负 （要注意说理的充分性） ，必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性. 19.如图，为空间四点，在中，等边三角形以为轴转动. （1）当平面平面时，求； （2）当转动时，直线和所成的角是否为定值？证明你的结论. 【答案】 （1）4（2）直线和所成的角为（定值） 【解析】 【分析】 （1）取出 AB 中点 E，连接 DE，CE，由等边三角形 ADB 可得出 DEAB，又平面 ADB平面 ABC，故 DE平面 ABC，
15、在 RtDEC 中用勾股定理求出 CD; （2）总有 ABCD，当 D面 ABC 内时，显然有 ABCD，当 D 在而 ABC 外时，可证得 AB平面 CDE，定有 ABCD 【详解】 （1）取的中点 ，连结， 因为是等边三角形，所以， 当平面平面时，因为平面平面， 所以平面，可知. 由已知可得， 在中，. （2）当以为轴转动时，直线和所成的角为（定值） 证明：（）当 在平面内时，因为， 所以都在线段的垂直平分线上， 即直线和所成的角为（定值） （）当 不在平面内时，由（1）知， 又因为，所以， 又为相交直线，所以平面， 由平面，得 综上所述，直线和所成的角为（定值） 【点睛】本题考查用线面垂直的方法来证明线线垂直，考查学生的空间想象能力，属于基础题 20.已知函数的图像过点. （1）求 的值； （2）证明：函数的图像关于点对称； （3）求的值. 【答案】 （1）（2）见解析（3） 【解析】 【分析】 （1）利用点在图像上，得到，从而得到 的值； （2）利用中心对称的概念加以证明即可； （3）由（2）知，分组求和即可. 【
