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1、芜湖市芜湖市 2018-20192018-2019 学年度第一学期期末学习质量检测学年度第一学期期末学习质量检测 高三数学（文科）高三数学（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. . 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解一元二次不等式求得集合 中元素的范围，再求两个集合的交集. 【详解】由，解得，故，所以选 C. 【点睛】本小题主要考查交集的概念以及运算，考查一
2、元二次不等式的解法，属于基础题. 2.已知复数是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数除法运算化简 ，然后根据 为纯虚数列方程，解方程求得 的值. 【详解】依题意，由于 为纯虚数，故，解得，故选 A. 【点睛】本小题主要考查复数除法的运算，考查复数为纯虚数的条件，属于基础题. 3.为评估“脱贫攻坚”成果，某市在一次统计中得到的 样本数据如下： 982，684，684，686，686，686，688，688，688，688.若 样本数据恰好是 样本数据每个数都加 10 后所得数 据，则 ， 两样本的数字特征相同的为（ ） A. 众数 B. 平均数 C.
3、 中位数 D. 标准差 【答案】D 【解析】 【分析】 由于两个样本稳定程度相同，故两者标准差相同. 【详解】由于 样本数据恰好是 样本数据每个数都加 10 后所得数据，所以众数、平均数和中位数都发生了变 化，但是两者波动程度或稳定程度是相同的，即两者的标准差相同，故选 D. 【点睛】本小题主要考查众数、平均数、中位数的概念，考查对于标准差的理解，属于基础题. 4.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据双曲线的焦点到渐近线的距离得到 的值，根据双曲线方程得到 的值，利用求得 的值，进而求 得焦距. 【详解
4、】由于双曲线的焦点到渐近线的距离为，由双曲线方程可知，故，故焦 距为，故选 D. 【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线焦点到渐近线的距离，考查双曲线的几何性质，属于 基础题. 5.是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 利用诱导公式化简题目所给两个条件，然后根据两者的包含关系，确定两个条件不能相互推导，由此得出正确 选项. 【详解】由得，由得.前者 为第一或者第三象限角，后者 为第一或者 第四象限角，两者没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件” ，故选 D. 【点睛】本小题主要考
5、查充分、必要条件的判断，考查三角函数诱导公式，考查三角函数值在各个象限的正负， 属于基础题. 6.设 ， 是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】 根据线、面的位置关系有关的概念和定理，对四个选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于 A 选项，两个平面平行，则一个平面内的直线，和另一个平面内的直线可能异面，故 A 选项错误.对 于 B 选项，如果两个平面平行，则一个平面的的直线和另一个平面平行，故 B 选项正确.对于 C 选项，两个平 面垂直，则一个平面内的直线和另一个平面
6、不一定垂直，故 C 选项错误.对于 D 选项，根据面面垂直的性质定 理可知：如果两个平面垂直，则在一个平面内，垂直于交线的直线和另一个平面垂直.但是 D 选项中直线 不一 定在这两个垂直的平面内，所以 D 选线错误.综上所述，本小题选 B. 【点睛】本小题主要考查空间线面的位置关系，主要是面面平行和面面垂直的有关性质，属于基础题. 7.执行下面的程序框图，如果输出的 为，则判断框中填写的内容可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 运行程序，当时退出程序，由此判断出所填写的内容. 【详解】运行程序，判断是，判断是，判断是， 判断否，输出，故选 D. 【点睛】本小题主
7、要考查程序框图，考查已知程序框图的输出结果求判断框填写的内容，属于基础题. 8.函数的大致图象为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用排除法，由及分别排除与 ，从而可得结果. 【详解】当时，,可排除选项；当时，可排除选项 ，故选 A. 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方 向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根 据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用 排除法，将不合题意的选项一一排除. 9.已知，则下列不等式
8、不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 对于取特殊值，代入选项进行验证，由此得出选项. 【详解】取，对于 A 选项，A 选项成立.对于 B 选项，B 选项不成立.对于 C 选项，C 选项成立.对于 D 选项，D 选项成立.综 上所述，本小题选 B. 【点睛】本小题主要考查比较指数式和对数式的大小，考查特殊值法解选择题，属于基础题. 10.锐角三角形的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知，则周长的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简，求得，再利用正弦定理求得边的表达式，然后利用三角恒等变换化简周
9、长的表达式，并由此求得周长的最大值. 【详解】依题意，由正弦定理得，即，由于三角形为锐角三角形，故，由正弦 定理得，故三角形的周长为 ，故当，即三角式为等边三角形时，取得最大值为，故选 C. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用正弦定理求三角形周长的最大值，考查三角恒 等变换，属于中档题. 11.已知抛物线 ：的焦点为 ，过点 且斜率为-1 的直线与抛物线相交于， 两点，直线 与抛物线相切 且， 为 上的动点，则的最小值是（ ） A. -12 B. -14 C. -16 D. -18 【答案】B 【解析】 【分析】 利用点斜式求得过焦点且斜率为的直线方程，联立此方程和抛物线
10、方程求得两点的坐标，设出直线 的方 程，联立直线 的方程和抛物线的方程，化简后利用判别式求得直线 的方程，设出 点的坐标，代入，由 此求得数量积的最小值. 【详解】依题意可知，抛物线的焦点坐标为，由于直线的斜率，故直线方程为，即， 由，解得.设直线 的方程为，由，化简得 ，由于直线和抛物线相切，判别式，解得，故直线 的方程为 .设直线 上任意一点的坐标，代入得 ，当时取得最小值为，故选 B. 【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查数量积的坐标运算，考查解二元二次方程组，考查向 量的坐标运算，属于中档题.直线方程的点斜式为，对于已知直线上一点和斜率的情况，可直接由 点斜式写出直线方程
11、.当直线和抛物线相切时，可联立直线方程和抛物线方程，然后利用判别式求得直线的表达 式. 12.已知函数，若函数在区间内单调递增，且函数的图象关于直线 对称，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用辅助角公式化简，根据函数的单调性以及对称轴，求得 的值，然后对四个选项逐一分析， 从而得出正确选项. 【详解】依题意知，由，解得，由于函数在区 间内单调递增，故，即，当时，上式成立，即.由于函数的 图象关于直线对称，故，即.故.所以.对于 A 选 项，所以 选项错误.对于 B 选项，所以 B 选项错误.对于 C 选项， ，故 C 选项正确.对于 D 选项，
12、由于 ，故 D 选项错误.综上所述，本小题选 C. 【点睛】本小题主要考查利用辅助角公式进行三角恒等变换，考查三角函数的单调性，考查三角函数的对称性， 考查分析与推理能力，属于中档题.对于三角函数的单调性，当时，可由 解出 的范围，即可求得三角函数的单调区间. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.已知向量，向量，若，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 先求得的坐标，然后利用两个向量垂直的坐标表示，列方程，解方程求得 的值. 【详解】依题意，由于，故，解得. 【点睛】本小题主要考查平面向量加法的坐标运算，考查平
13、面向量垂直的坐标表示，属于基础题. 14.设 ， 满足约束条件，则的最大值为_ 【答案】5 【解析】 【分析】 画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为 . 【点睛】本小题主要考查 利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行 域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行 域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题. 15.已知直线 ：，点在直线 上，过点引圆的切线，若切线
14、长的最小值为，则实数 的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 将切线长的最小值问题，转化为圆心到直线的距离来求解，列方程求得实数 的值. 【详解】设切点为 ，根据切线的性质可知，即.当取得最小值时，取得最 小值，原点到直线 的距离为，依题意可得，解得. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆的切线长问题，考查圆的切线的几何性质，考查化归与 转化的数学思想方法，属于中档题.解决本题的突破口在于将切线长的最小值问题，通过切线的几何性质，利用 勾股定理，转化为圆心到直线的距离来求解. 16.九章算术是我国古代的数学名著，书中对几何学的研究比西方早一千多年.在该书中，将底面为直角三 角形，且
15、侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面 均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在堑堵中，鳖臑的体积为 2，则阳马外接球表面积的最小值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据“四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑”可知阳马外接球球心为的中点，且为外接 球的直径.通过鳖臑的体积为 2，求得堑堵的体积，设出的长，求得球的直径 的表达式，进而求得球的表面积的表达式，再通过基本不等式求得表面积的最小值. 【详解】由于“四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑” ，故可知阳马外接球球心为的中点， 且为外接球的直径. 鳖臑的体积为 ，故堑堵的体积为.设，依 题意
16、.而，故阳马外接球表面积为 ，由基本不等式得，即阳马外接球表面积的 最小值为. 【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查棱柱中的椎体有关问题，考查几何体外接球表面积的最小值 的求法，考查利用基本不等式求面积的最小值.解题的关键在于找到阳马外接球球心的位置，这个位 置可根据“四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑” ，结合球心到球面上各点的距离相等来求得. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第 17172121 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . 17.已知数列中，. （1）设，求数列的通项公式；
